Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2 Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
194 Annexe A. Annexes Pour pouvoir plier l’affaire, il reste à noter que les variables aléatoires X5, X ′ 5 et X10 suivent toutes des lois binomiales, et plus précisément X5 ∼ B(5,1/6), X ′ 5 ∼ B(5,1/6), et X10 ∼ B(10,1/6). Ceci donne : È(X5 = 2|X10 = 4) = 5 2 10 4 (1/6) 2 (5/6) 3 2 (1/6) 4 (5/6) 6 = 10 21 . V. Le dé dyadique On appelle “dé dyadique” un dé dont les faces sont numérotées respectivement 2, 4, 8, 16, 32 et 64. On jette un dé dyadique équilibré et on appelle X le résultat obtenu. 1. Puisque le dé est équilibré, la probabilité de chaque occurence est égale à 1/6, d’où : 2. L’écart-type de X vaut quant à lui Il suffit donc de calculer pour en déduire E[X] = 1 (2+4+8+16+32+64) = 21. 6 σ(X) = Var(X) = E[X 2 ]−(E[X]) 2 . E[X 2 ] = 1 6 (22 +4 2 +8 2 +16 2 +32 2 +64 2 ) = 910 σ(X) = 910−21 2 ≈ 21.66 3. Lorsque X1 et X2 sont deux variables indépendantes, elle sont a fortiori décorrélées et leur covariance est nulle. On en déduit en particulier que E[X1X2] = E[X1]E[X2]. 4. On jette maintenant deux dés dyadiques équilibrés, appelons X1 le résultat du premier, X2 celui du second et Y = X1X2 le produit des deux. L’espérance de Y vaut donc E[Y] = E[X1X2] = E[X1]E[X2] = (E[X]) 2 = 441. 5. Pour que le produit des deux dés fasse moins de 20, il faut avoir l’une des six combinaisons suivantes : (2,2), (2,4), (2,8), (4,2), (4,4), (8,2). Sur un total de 36 combinaisons équiprobables, ceci fait doncÈ(Y < 20) = 6/36 = 1/6. VI. Répartition des tailles On suppose que dans une population, 1% des gens mesurent plus de 1m92. Supposons que vous tiriez au hasard (avec remise) 200 personnes dans cette population. Appelons X le nombre de personnes de plus de 1m92 dans votre échantillon. 1. La loi de X est binomiale B(200,0.01). 2. On peut l’approcher par une loi de Poisson P(200×0.01) = P(2). 3. La probabilité que l’échantillon compte au moins 3 personnes de plus de 1m92 vaut donc p =È(X ≥ 3) = 1−È(X < 3) = 1−(È(X = 0)+È(X = 1)+È(X = 2)). On peut calculer cette quantité directement avec la loi binomiale ou via l’approximation poissonienne. Dans le premier cas, ceci donne 200 p = 1− 0.01 0 0 0.99 200 200 + 0.01 1 1 0.99 199 200 + 0.01 2 2 0.99 198 ≈ 0.323321 Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
A.1. Annales 195 Tandis que dans le second, il vient p = 1− e −220 0! +e−221 1! +e−222 ≈ 0.323324 2! L’approximation est donc excellente. VII. Poisson en vrac On considère une variable X distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ > 0. 1. E[3X +5] = 3E[X]+5 = 3λ+5. 2. Var(2X +1) = 4Var(X) = 4λ. 3. Ce dernier calcul mérite quelques détails. Le théorème de transfert donne 1 E X +1 = +∞ n=0 1 n+1 e−λλn n! , où l’on voit apparaître (n+1)! au dénominateur, d’où l’idée de forcer un peu les choses au numérateur : 1 E X +1 = e −λ +∞ n=0 pour faire apparaître la série de l’exponentielle : 1 E = X +1 e−λ −1+ λ λn +∞ e−λ λ = (n+1)! λ n=0 n+1 +∞ e−λ λ = (n+1)! λ n=1 n n! +∞ n=0 λn = n! e−λ e λ λ −1 . Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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Tandis que dans le second, il vient<br />
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p = 1− e −220<br />
0! +e−221<br />
1! +e−222<br />
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≈ 0.323324<br />
2!<br />
L’approximation est donc excellente.<br />
VII. Poisson en vrac<br />
On considère une variable X distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ > 0.<br />
1. E[3X +5] = 3E[X]+5 = 3λ+5.<br />
2. Var(2X +1) = 4Var(X) = 4λ.<br />
3. Ce dernier calcul mérite quelques détails. Le théorème de transfert donne<br />
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1<br />
E<br />
X +1<br />
=<br />
+∞<br />
n=0<br />
1<br />
n+1 e−λλn<br />
n! ,<br />
où l’on voit apparaître (n+1)! au dénominateur, d’où l’idée de forcer un peu les choses au<br />
numérateur :<br />
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1<br />
E<br />
X +1<br />
= e −λ<br />
+∞<br />
n=0<br />
pour faire apparaître la série de l’exponentielle :<br />
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E =<br />
X +1<br />
e−λ<br />
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−1+<br />
λ<br />
λn +∞ e−λ λ<br />
=<br />
(n+1)! λ<br />
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n+1 +∞ e−λ λ<br />
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(n+1)! λ<br />
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λn <br />
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e−λ<br />
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λ<br />
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