Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

194 Annexe A. Annexes
Pour pouvoir plier l’affaire, il reste à noter que les variables aléatoires X5, X ′ 5 et X10 suivent
toutes des lois binomiales, et plus précisément X5 ∼ B(5,1/6), X ′ 5 ∼ B(5,1/6), et X10 ∼
B(10,1/6). Ceci donne :
È(X5 = 2|X10 = 4) =
5 2 10 4
(1/6) 2 (5/6) 3 2
(1/6) 4 (5/6) 6
= 10
21 .
V. Le dé dyadique
On appelle “dé dyadique” un dé dont les faces sont numérotées respectivement 2, 4, 8, 16, 32 et
64. On jette un dé dyadique équilibré et on appelle X le résultat obtenu.
1. Puisque le dé est équilibré, la probabilité de chaque occurence est égale à 1/6, d’où :
2. L’écart-type de X vaut quant à lui
Il suffit donc de calculer
pour en déduire
E[X] = 1
(2+4+8+16+32+64) = 21.
6
σ(X) = Var(X) = E[X 2 ]−(E[X]) 2 .
E[X 2 ] = 1
6 (22 +4 2 +8 2 +16 2 +32 2 +64 2 ) = 910
σ(X) = 910−21 2 ≈ 21.66
3. Lorsque X1 et X2 sont deux variables indépendantes, elle sont a fortiori décorrélées et leur
covariance est nulle. On en déduit en particulier que E[X1X2] = E[X1]E[X2].
4. On jette maintenant deux dés dyadiques équilibrés, appelons X1 le résultat du premier, X2
celui du second et Y = X1X2 le produit des deux. L’espérance de Y vaut donc
E[Y] = E[X1X2] = E[X1]E[X2] = (E[X]) 2 = 441.
5. Pour que le produit des deux dés fasse moins de 20, il faut avoir l’une des six combinaisons
suivantes : (2,2), (2,4), (2,8), (4,2), (4,4), (8,2). Sur un total de 36 combinaisons équiprobables,
ceci fait doncÈ(Y < 20) = 6/36 = 1/6.
VI. Répartition des tailles
On suppose que dans une population, 1% des gens mesurent plus de 1m92. Supposons que vous
tiriez au hasard (avec remise) 200 personnes dans cette population. Appelons X le nombre de
personnes de plus de 1m92 dans votre échantillon.
1. La loi de X est binomiale B(200,0.01).
2. On peut l’approcher par une loi de Poisson P(200×0.01) = P(2).
3. La probabilité que l’échantillon compte au moins 3 personnes de plus de 1m92 vaut donc
p =È(X ≥ 3) = 1−È(X < 3) = 1−(È(X = 0)+È(X = 1)+È(X = 2)).
On peut calculer cette quantité directement avec la loi binomiale ou via l’approximation
poissonienne. Dans le premier cas, ceci donne
200
p = 1− 0.01
0
0 0.99 200
200
+ 0.01
1
1 0.99 199
200
+ 0.01
2
2 0.99 198
≈ 0.323321
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités