Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

A.1. Annales 189
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
f(x)
−5 −4 −3 −2
0.00
−1 0 1 2 3 4 5
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
F(x)
−5 −4 −3 −2
0.0
−1 0 1 2 3 4 5
Figure A.2 – Densité (à gauche) et fonction de répartition (à droite) pour une loi de Laplace.
4. Pour tout n ∈Æ, on appelle In l’intégrale définie par :
+∞
In = x
0
n e −x dx.
(a) Le calcul de I0 a déjà été fait pour vérifier que f est une densité. On a obtenu I0 = 1.
(b) Pour tout n ∈Æ∗ , une intégration par parties donne :
On a donc pour tout n ∈Æ:
In = −x n e −x +∞
0 +
+∞
nx
0
n−1 e −x dx = nIn−1.
In = nIn−1 = n(n−1)In−2 = ··· = n!I0 = n!
5. Puisque la fonction x ↦→ 1
2 x2n e −|x| est paire et intégrable surÊ, on a :
E[X 2n ] =
+∞
−∞
x 2ne−|x|
dx =
2
+∞
x
0
2n e −x dx = I2n = (2n)!
En particulier : Var(X) = E[X 2 ]−(E[X]) 2 = E[X 2 ] = 2! = 2.
6. De l’imparité de la fonction x ↦→ 1
2 x2n+1 e −|x| , on déduit que ∀n ∈Æ:E[X 2n+1 ] = 0.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2