Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

186 Annexe A. Annexes
4. Pour x = 1, la somme des termes d’une suite géométrique de raison x donne :
Par dérivation de cette formule, on obtient :
5. La moyenne de X s’écrit :
P(x) = 1−xn+1
1−x .
P ′ (x) = nxn+1 −(n+1)x n +1
(1−x) 2
.
E[X] = 1×p+2×pq +···+10×pq 9 +11×q 10 = p 1+2q +···+10q 9 +11q 10 ,
où l’on reconnaît la fonction P ′ lorsque n = 10 :
E[X] = p×P ′ (q)+11q 10 .
Il reste à appliquer la formule obtenue précédemment pour P ′ (x), à tout mettre au même
dénominateur et à simplifier pour obtenir :
E[X] = 1−(1−p)11
.
p
6. S’il y a une “infinité” de candidats, alors Y suit une loi géométrique G(p). Son espérance vaut
dans ce cas : E[Y] = 1/p. On voit qu’elle est supérieure à E[X], mais de très peu, puisque
pour p = 1/2 on a E[Y] = 2 et :
E[X] = 1−1− 1
2
IV. Autour de la loi normale
On considère une variable aléatoire X de loi normale N(0,1).
1
2
11
≈ 1,999.
1. Soit n ∈Æfixé, alors par le théorème de transfert le moment d’ordre (n+2) de X s’écrit :
E[X n+2 ] = 1
√ 2π
+∞
−∞
que l’on peut intégrer par parties :
E[X n+2 ] = 1
√ 2π
x n+2 e −x2
2 dx = 1
√ 2π
−x n+1 e −x2
2
+∞
−∞
+ 1
√ 2π
+∞
−∞
+∞
−∞
x n+1
xe −x2
2
dx,
(n+1)x n e −x2
2 dx,
et puisque la quantité entre crochets est nulle, ceci donne bien : E[X n+2 ] = (n+1)E[X n ].
2. Il en découle par exemple que :
Il vient alors :
3. On obtient de même :
E[X 2 ] = 1×E[X 0 ] = E[1] = 1.
E[X 4 ] = 3E[X 2 ] = 3.
E[X 3 ] = 2E[X] = 0,
puisque par hypothèse la variable X est centrée. De façon générale, il est clair que tous les
moments d’ordres impairs d’une loi normale centrée sont nuls.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités