Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

184 Annexe A. Annexes
Université de Rennes 2
Licence MASS 2
Durée : 2 heures
Corrigé du Contrôle
Lundi 14 Décembre 2009
Calculatrice autorisée
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I. Boules blanches et noires
Un sac contient 8 boules blanches et 2 boules noires. On tire les boules les unes après les autres,
sans remise, jusqu’à obtenir une boule blanche. On appelle X le nombre de tirages nécessaires pour
obtenir cette boule blanche.
1. Puisqu’il n’y a que deux boules noires, la variable aléatoire X ne peut prendre que les valeurs
1, 2 ou 3.
2. Notons Bi (resp. Ni) le fait de tirer une boule blanche (resp. noire) au i-ème tirage. On peut
alors écrire :
È(X = 1) =È(B1) = 8 4
=
10 5 .
Pour le calcul suivant, on procède par conditionnement :
Enfin, de la même façon :
È(X = 2) =È(N1 ∩B2) =È(N1)È(B2|N1) = 2 8 8
× =
10 9 45 .
È(X = 3) =È(N1 ∩N2 ∩B3) =È(N1)È(N2|N1)È(B3|N1 ∩N2) = 2 1 8 1
× × =
10 9 8 45 ,
et la loi de X est ainsi complètement déterminée. Remarque : au passage, on vérifie bien que
4/5+8/45+1/45 = 1.
1
1 2
Figure A.1 – Fonction de répartition de la variable X.
3. Sa fonction de répartition F s’en déduit facilement et est représentée figure A.1.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
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