Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2
Share Embed Flag
Download ePaper

Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2 Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

sites.univ.rennes2.fr
from sites.univ.rennes2.fr More from this publisher
26.06.2013 Views

182 Annexe A. Annexes 3. Pour n ∈Æfixé, on considère la fonction P définie par : P(x) = 1+x+···+x n = n x j . Exprimer sa dérivée P ′ (x) sous la forme d’une somme de n termes. 4. Pour x = 1, écrire plus simplement P(x) (penser à la somme des termes d’une suite géométrique). En déduire une autre expression de P ′ (x), à savoir : j=0 P ′ (x) = nxn+1 −(n+1)x n +1 (1−x) 2 . 5. Déduire des questions précédentes que X a pour moyenne : E[X] = 1−(1−p)11 . p 6. Supposons maintenant qu’il n’y ait pas seulement 10 candidats, mais un nombre infini, et que l’on procède de la même façon. Appelons Y le numéro du candidat retenu. Quelle est la loi classique suivie par Y ? Rappeler son espérance. La comparer à E[X] lorque p = 1/2. IV. Autour de la loi normale On considère une variable aléatoire X de loi normale N(0,1). 1. Montrer que, pour tout n ∈Æ, on a : E[X n+2 ] = (n+1)E[X n ] (intégrer par parties). 2. Que vaut E[X 2 ]? Déduire de ce résultat et de la question précédente la valeur de E[X 4 ]. 3. Que vaut E[X 3 ]? 4. Soit Y la variable aléatoire définie par Y = 2X +1. (a) Quelle est la loi de Y ? (b) Déterminer E[Y 4 ] (on pourra utiliser la formule du binôme et les moments de X trouvés précédemment). 5. A l’aide de la table de la loi normale, déterminerÈ(|X| ≥ 2). Que donne l’inégalité de Tchebychev dans ce cas ? Comparer et commenter. 6. On considère maintenant que X suit une loi normale de moyenne 7 et d’écart-type 4. (a) DéterminerÈ(X ≤ 8) etÈ(5 ≤ X ≤ 9). (b) Déterminer q tel queÈ(X > q) = 0,9. 7. (Bonus) La taille des enfants d’un collège est distribuée selon une loi normale de moyenne m et d’écart-type σ. On sait qu’un cinquième des élèves mesurent moins de 1m50 et que 10% des élèves mesurent plus de 1m80. Déterminer m et σ. V. Loi de Laplace On considère une variable aléatoire X dont la densité f est donnée par : ∀x ∈Ê, f(x) = 1 2 e−|x| , où |x| représente la valeur absolue de x, c’est-à-dire |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x ≤ 0. 1. Vérifier que f est bien une densité surÊ. Représenter f. 2. On note F la fonction de répartition de X. Calculer F(x) (on distinguera les cas x ≤ 0 et x ≥ 0). Représenter F. Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités

A.1. Annales 183 3. Montrer que E[X] = 0. 4. Pour tout n ∈Æ, on appelle In l’intégrale définie par : (a) Combien vaut I0 ? +∞ In = x 0 n e −x dx. (b) Montrer que pour tout n ∈Æ∗ , In = nIn−1. En déduire que In = n! pour tout n ∈Æ. 5. Pour tout n ∈Æ, calculer E[X 2n ]. Que vaut Var(X)? 6. Pour tout n ∈Æ, que vaut E[X 2n+1 ]? Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2

A.1. Annales 183<br />

3. Montrer que E[X] = 0.<br />

4. Pour tout n ∈Æ, on appelle In l’intégrale définie par :<br />

(a) Combien vaut I0 ?<br />

+∞<br />

In = x<br />

0<br />

n e −x dx.<br />

(b) Montrer que pour tout n ∈Æ∗ , In = nIn−1. En déduire que In = n! pour tout n ∈Æ.<br />

5. Pour tout n ∈Æ, calculer E[X 2n ]. Que vaut Var(X)?<br />

6. Pour tout n ∈Æ, que vaut E[X 2n+1 ]?<br />

<strong>Probabilités</strong> Arnaud Guyader - <strong>Rennes</strong> 2

logo

Produits

Ressources

Entreprises

Terms of service
Privacy policy
Cookie policy
Cookie settings
Imprint
Change language
Made with love in Switzerland
© 2024 Yumpu.com all rights reserved

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!