Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

14 Chapitre 1. Espaces probabilisés
2. Combien devrait-il y avoir d’étudiants en Licence MASS 2 pour qu’avec plus d’une chance
sur deux, au moins un autre étudiant ait son anniversaire le même jour que vous ?
Exercice 1.5 (Las Vegas 21)
Un jeu de poker compte 52 cartes et on considère qu’une main est constituée de 5 cartes (poker
fermé).
1. Combien y a-t-il de mains possibles ?
2. Quelle est la probabilité d’avoir une quinte flush?
3. Quelle est la probabilité d’avoir une couleur (mais pas une quinte flush!)?
4. Quelle est la probabilité d’avoir un carré?
5. Que deviennent ces probabilités au poker ouvert (ou Texas Hold’em), c’est-à-dire lorsqu’il
s’agit de former la meilleur main de 5 cartes parmi 7?
Exercice 1.6 (L’art de combiner les combinaisons)
1. Rappeler la formule du binôme de Newton pour (x+y) n , où n est un entier naturel.
2. Dessiner le triangle de Pascal, qui permet de retrouver les valeurs des coefficients binomiaux
pour les petites valeurs de n. Pour tout 0 ≤ k < n, simplifier l’expression n n
k + k+1 .
3. Calculer n n n k=0 k , k=0 (−1)k n
n k , k=0k n
n n k , k=0 k /(k +1).
4. Calculer n 2 k=0 en obtenant de deux façons le coefficient de Xn dans le polynôme :
n
k
P(X) = (1+X) n (1+X) n .
Exercice 1.7 (Formule de Poincaré)
Dans la suite, tous les ensembles sont finis et on note #A le cardinal d’un ensemble A.
1. Exprimer #(A∪B) en fonction de #A, #B et #(A∩B). Application : dans une classe de
lycée, 20 élèves ont pour langues (anglais,espagnol), 15 ont pour langues (anglais,allemand)
et 5 étudient les 3 langues. Combien cette classe a-t-elle d’élèves ?
2. Exprimer #(A∪B ∪C) en fonction de #A, #B, #C, #(A∩B), #(A∩C), #(B ∩C) et
#(A∩B ∩C).
3. Généralisation : on considère n ensembles A1,...,An, on connaît les cardinaux de toutes les
intersections possibles de ces ensembles, c’est-à-dire toutes les quantités de la forme
∀k ∈ {1,...,n},∀1 ≤ i1 < ··· < ik ≤ n, #(Ai1 ∩···∩Aik ).
Exprimer en fonction de ces quantités le cardinal #(A1∪···∪An). Cette formule est connue
sous le nom de formule de Poincaré, ou formule d’inclusion-exclusion ou encore formule du
crible.
Exercice 1.8 (Dérangements)
Les n étudiants de MASS 2 font un repas de classe dans un restaurant et laissent leur manteau
au vestiaire en arrivant. Au moment de partir, une panne d’électricité fait que l’employé rend à
chacun l’un des manteaux au hasard. Le but de l’exercice est de déterminer la probabilité qu’aucun
des étudiants ne récupère le sien. Les étudiants sont numérotés de 1 à n.
1. Combien y a-t-il de répartitions possibles des manteaux parmi les n étudiants ?
2. L’événement Ai signifie : “l’étudiant i a récupéré son manteau”. Exprimer grâce aux Ai
l’événement A : “aucun des étudiants ne récupère son manteau”.
3. Soit k ∈ {1,...,n}. Combien y a-t-il de séquences d’indices (i1,...,ik) telles que 1 ≤ i1 <
··· < ik ≤ n ?
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités