Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

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174 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité 5. Supposons que la durée de vie (en années) d’un élément soit distribuée selon la loi de Weibull ci-dessus. (a) La probabilité que cet élément dure plus de 2 ans est È(X ≥ 2) = 1−È(X ≤ 2) = 1−F(2) = e −8 ≈ 0.03% (b) La probabilité que sa durée de vie soit comprise entre un an et deux ans est È(1 ≤ X ≤ 2) = F(2)−F(1) = e −1 −e −8 ≈ 36.8% (c) La probabilité que sa durée de vie soit supérieure à deux ans sachant qu’il fonctionne encore au bout d’un an vaut ≥ 2) 1−F(2) È(X ≥ 2|X ≥ 1) =È(X = È(X ≥ 1) 1−F(1) = e−7 ≈ 0.09% Exercice 3.35 (Loi du khi-deux) Soit X une variable distribuée selon une loi normale centrée réduite N(0,1). 1. E[X] = 0 et Var(X) = 1, donc E[X 2 ] = Var(X)+(E[X]) 2 = 1. 2. X a pour densité Le théorème de transfert assure alors que E[X 4 ] = d’où en intégrant par parties 3. Si Y = X 2 , alors +∞ −∞ f(x) = 1 √ e 2π −x2 2 x 4 f(x)dx = 1 √ 2π E[X 4 ] = 1 √ −x 2π 3 e −x2 +∞ 2 +3 −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ x 3 ×xe −x2 2 dx x 2 × 1 √ 2π e −x2 2 dx = 3E[X 2 ] = 3 Var(Y) = E[Y 2 ]−(E[Y]) 2 = E[X 4 ]−(E[X 2 ]) 2 = 3−1 = 2. 4. Soit n ∈Æ∗ un entier naturel non nul, X1,...,Xn des variables iid de loi normale centrée réduite, et Sn = X 2 1 +···+X2 n . (a) Par linéarité de l’espérance et équidistribution des variables Xi, il est clair que E[Sn] = nE[X2 1 ] = n. Par indépendance des X2 i , on a de plus Var(Sn) = nVar(X2 1 ) = 2n d’après la question précédente. (b) Dans cette situation, le théorème central limite nous dit que S est approximativement distribuée comme une gaussienne de moyenne E[S] = 200 et de variance Var(S) = 400, soit S ≈ N(200,20 2 ). Avec environ 95% de chances, S sera donc à distance inférieure à deux fois l’écart-type de sa moyenne, i.e. entre 160 et 240. Exercice 3.36 (Loi de Laplace) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2009). Exercice 3.37 (Autour de la loi normale) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2009). Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
3.6. Corrigés 175 Exercice 3.38 (Variable à densité) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2010). Exercice 3.39 (Diamètre d’une bille) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2010). Exercice 3.40 (Tchernobyl for ever) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2010). Exercice 3.41 (Durée de vie d’un processeur) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2011). Exercice 3.42 (Densité quadratique) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2011). Exercice 3.43 (Accidents et fréquence cardiaque) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2011). Exercice 3.44 (Loi de Gumbel) Cet exercice est corrigé en annexe (sujet de décembre 2011). Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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