Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 173
2. La largeur (en cm) d’une fente entaillée dans une pièce est une variable X qui suit une loi
normale de moyenne m = 2 et d’écart-type σ. Les limites de tolérance sont données comme
étant 2±0.012.
(a) Si σ = 0.007, le pourcentage de pièces défectueuses est
1−È(2−0.012 ≤ X ≤ 2+0.012) = 2−2Φ(1.71) ≈ 0.0892
soit environ 9% de pièces défectueuses.
(b) Avec le même raisonnement, la valeur maximale que peut prendre σ de sorte que le
pourcentage de pièces défectueuses ne dépasse pas 1% est telle que
0.012 0.012
2−2Φ ≤ 0.01 ⇔ Φ ≥ 0.995 ⇔
σ σ
0.012
≥ 2.58
σ
c’est-à-dire σ ≤ 0.0047 ≈ 0.005.
Exercice 3.34 (Loi de Weibull)
On considère une variable aléatoire X de densité
3x2 e−x f(x) =
3
si x ≥ 0
0 si x < 0
Figure 3.24 – Densité et fonction de répartition de la loi de Weibull.
1. f est positive et elle intègre à 1 puisque
+∞
−∞
f(x)dx =
+∞
0
3x 2 e −x3
dx = −e −x3 +∞
= 1.
0
2. La dérivée de f est bien sûr nulle à gauche de 0, et pour tout x ≥ 0 :
f ′ (x) = 3x(2−3x 3 )e −x3
Le mode de f se situe donc au point x0 = (2/3) 1/3 ≈ 0.87.
3. La représentation de f est fournie figure 3.24 à gauche.
4. La fonction de répartition F de X est nulle sur ]−∞,0] et pour tout x ≥ 0 on trouve
F(x) =
x
0
f(t)dt =
−e −t3 x
Sa représentation de f est fournie figure 3.24 à droite.
0
= 1−e−x3 .
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
(3.2)