Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

172 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
5. On a donc via une intégration par parties
E[X] =
+∞
0
x 2 e −x2
2 dx =
+∞
0
x×
xe −x2
2
dx = −xe −x2
+∞
2 +
0
+∞
6. Soit U une variable aléatoire distribuée suivant une loi uniforme sur ]0,1].
0
e −x2
π
2 dx =
2 .
(a) La fonction de répartition FU vaut 0 à gauche de 0, 1 à droite de 1, et FU(u) = u pour
0 ≤ u ≤ 1.
(b) Puisque U prend ses valeurs entre 0 et 1, la variable aléatoire X = √ −2lnU prend ses
valeurs dans l’intervalle [0,+∞[.
(c) De fait sa fonction de répartition FX vaut 0 surÊ− , et pour x ≥ 0, il suffit d’écrire que
FX(x) =È(X ≤ x) =È( √ −2lnU ≤ x) =È(0 ≤ −2lnU ≤ x 2 ) =È(U ≥ e −x2
2 )
c’est-à-dire
FX(x) = 1−FU(e −x2
2 ) = 1−e −x2
2 .
Ainsi X suit bien une loi de Rayleigh de paramètre 1 et la messe est dite.
Exercice 3.32 (Loi de Rademacher et marche aléatoire)
Soit X une variable suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
1. Moyenne et variance valent respectivement E[X] = 1/2 et Var(X) = 1/4.
2. La variable aléatoire Y = 2X−1 peut prendre les valeurs−1 et 1, et ce de façon équiprobable.
3. Sa moyenne et sa variance découlent directement de celles de X : E[Y] = 2E[X]−1 = 0 et
Var(Y) = 2 2 Var(X) = 1.
4. (a) Une seconde de réflexion permet de voir que la variable S100 peut prendre toutes les
valeurs paires de -100 à 100, c’est-à-dire que S100 ∈ {−100,−98,...,98,100}. Par linéarité
de l’espérance, on a tout d’abord E[S100] = 100E[Y1] = 0, et par indépendance des
variables intervenant dans la somme, on a aussi Var[S100] = 100Var[Y1] = 100.
(b) Nous sommes exactement dans le cadre de la question précédente : l’ivrogne part du
point d’abscisse 0, puis Y1 = 1 s’il fait son premier pas à droite (respectivement Y1 = −1
s’il fait son premier pas à gauche), et ainsi de suite jusqu’au centième pas. La variable
S100 correspond donc à l’abscisse de l’aviné au bout de 100 pas. Puisque les pas sont
indépendants et identiquement distribués, on peut appliquer le théorème central limite
pour approcher la loi de cette variable : S100 ≈ N(0,10 2 ). De fait, il y a 95% de chances
de trouver le poivrot à une distance inférieure à deux fois l’écart-type de sa moyenne,
c’est-à-dire à une distance inférieure à 20 mètres de son point de départ.
Exercice 3.33 (Précipitation vs. précision)
On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
1. La quantité annuelle de précipitations (en cm) dans une certaine région est une variable X
distribuée selon une loi normale de moyenne 140 et de variance 16.
(a) La probabilité qu’en une année il pleuve plus de 150 cm est d’environ 0.6% puisque
5
È(X ≥ 150) = 1−Φ ≈ 0.0062
2
(b) La probabilité qu’il faille attendre au moins 10 ans est la probabilité qu’un événement
de probabilité 0.9938 se répète 10 années de suite, c’est-à-dire
p = 0.9938 10 ≈ 0.9397 ≈ 94%
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités