Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 171
6. Pour tout n ∈Æ∗ , le moment d’ordre n de X vaut
E[X n 1
] = 6x n+1
xn+2 (1−x)dx = 6
n+2
0
1 xn+3
− =
n+3 0
6
(n+2)(n+3) .
On vérifie bien sûr que ceci coïncide avec les résultats trouvés pour E[X] et E[X 2 ].
Exercice 3.31 (Loi de Rayleigh)
On considère une variable aléatoire X de densité
f(x) =
Figure 3.23 – Densité f(x) = x e −x2
2
c x e −x2
2 x ≥ 0
0 x < 0
[0,+∞[(x) et fonction de répartition F associée.
1. Il est clair d’une part que f est bien positive, et d’autre part que son intégrale sur [0,+∞[
est égale à 1, puisque
+∞
0
xe −x2
2 dx = −e −x2
+∞
2 = 1.
0
Cette densité est représentée figure 3.23 à gauche.
2. La fonction de répartition F de X vaut 0 sur ]−∞,0] et pour x ≥ 0, on a
F(x) =
x
0
te −t2
2 dt =
−e −t2
2
x
0
= 1−e −x2
2 .
Cette fonction de répartition est représentée figure 3.23 à droite.
3. La médiane de X vérifieÈ(X > m) = 1/2, ce qui équivaut à dire que F(m) = 1/2, donc
1−e −m2
2 = 1
2 ⇔ m = √ 2ln2.
4. On reconnaît la densité d’une loi normale centrée réduite donc
1
√ 2π
+∞
−∞
e −x2
2 dx = 1.
Par parité de la fonction x ↦→ e −x2
2 surÊ, il est clair que
+∞
0
e −x2
2 dx = 1
2
+∞
−∞
e −x2
2 dx =
√ 2π
2
1
√2π
+∞
−∞
e −x2
π
2 dx =
2 .
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
(3.2)