Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

170 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
Figure 3.22 – Densité f(x) = 6x(1−x) [0,1](x) et fonction de répartition F associée.
1. La constante c doit être positive pour que f le soit et f doit sommer à 1, or :
1 1
c x(1−x)dx = c (x−x 2
x2 1
x3
)dx = c − =
2 3
c
⇒ c = 6
6
0
0
et f(x) = 6x(1−x) [0,1](x). Cette densité est représentée figure 3.22 à gauche.
2. La fonction de répartition F est nulle à gauche de 0, vaut 1 à droite de 1, et pour 0 ≤ x ≤ 1
un petit calcul s’impose
F(x) =
x
−∞
f(t)dt =
x
0
6t(1−t)dt = 3t 2 −2t 3 x
0 = 3x2 −2x 3 .
Cette fonction de répartition est représentée figure 3.22 à droite.
3. On en déduit immédiatement queÈ(1/4 < X < 3/4) = F(3/4)−F(1/4) = 11/16.
4. L’espérance de X vaut
E[X] =
+∞
−∞
xf(x)dx =
1
0
6x 2 (1−x)dx =
0
2x 3 − 3
2 x4
1 =
0
1
2 ,
ce qui était évident par symétrie de la densité autour de 1/2. Pour le calcul de la variance,
on commence par le moment d’ordre 2 :
E[X 2 1
] = 6x
0
3
3
(1−x)dx =
2 x4 − 6
5 x5
1 =
0
3
10 ,
d’où
Var(X) = E[X 2 ]−E[X] 2 = 3 1
−
10 4
= 1
20 .
5. L’inégalité de Tchebychev permet de majorer la probabilité qu’a une variable aléatoire de
s’éloigner de sa moyenne en fonction de sa variance. Précisément, elle nous assure que pour
tout t > 0È(|X −E[X]| ≥ t) ≤ Var(X)
t2 ⇔È(−t < X −E[X] < t) ≥ 1− Var(X)
t2 Puisque E[X] = 1/2, on l’applique ici avec t = 1/4, ce qui donne
È
1 3
< X < =È
−
4 4
1
1 1
< X − < ≥ 1−
4 2 4
Var(X) 1
=
(1/4) 2 5 .
Bien entendu, cette borne est inférieure à la vraie valeur 11/16 trouvée précédemment.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités