Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 169
Exercice 3.29 (Nul n’est censé ignorer la loi normale)
On note comme d’habitude Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
1. Commençons par le troisième quartile. Par définition de celui-ci, puis centrage-réduction et
lecture dans la table de la loi normale, on a
È(X ≤ q3) = 0.75 ⇔È X −20
5
et par symétrie d’une loi normale par rapport à sa moyenne :
q1 +q3
2
≤ q3
−20
= 0.75 ⇔
5
q3 −20
≈ 0.67 ⇔ q3 ≈ 23.35
5
= 20 ⇒ q1 ≈ 16.65
2. Seuls 20/300 = 15% des étudiants seront concernés par le rattrapage, on cherche donc la
note x telle que
È(X ≤ x) = 0.15 ⇔È X −9
2
d’où il sort È(X ≤ x) = 0.15 ⇔ 9−x
2
x−9 9−x
≤ = 0.15 ⇔ Φ
2 2
≈ 1.04 ⇔ x ≈ 6.92
= 0.85
Ainsi, en gros, les étudiants ayant une note inférieure à 7 pourront suivre les cours de rattrapage.
3. On cherche cette foisÈ(X /∈ [240,290]) = 1−È(240 ≤ X ≤ 290), où X ∼ N(270,10 2 ), or
È(240 ≤ X ≤ 290) =È 240−270
10
≤
X −270
10
c’est-à-dire È(240 ≤ X ≤ 290) = Φ(2)+Φ(3)−1 ≈ 0.9759
≤ 290−270
= Φ(2)−Φ(−3)
10
Au vu de sa période d’absence à l’étranger, il y a donc environ seulement 2.4% de chances
qu’il puisse être le père.
4. (a) Chaque étudiant accepté a une probabilité 1/3 d’être effectivement présent à la rentrée.
Les décisions des étudiants étant supposées indépendantes les unes des autres, la loi de
X est binomiale : X ∼ B(500,1/3).
(b) Nous sommes dans le cadre d’application du théorème central limite : puisque E[X] =
500/3 et Var(X) = 1000/9, nous faisons l’approximation : X ≈ N(500/3,1000/9), donc
X −500/3
È(X > 200) ≈È
>
1000/9 200−500/3
≈ 1−Φ(3.16) ≈ 8×10
1000/9
−4
Si le modèle est bon, il y a donc très peu de risques d’être en sureffectif à la rentrée.
Exercice 3.30 (Loi bêta)
On considère une variable aléatoire X de densité
f(x) =
c x(1−x) si 0 ≤ x ≤ 1
0 ailleurs
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
(3.2)