Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

166 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
7. Application
(a) Si le symbole d’entrée est + √ Eb (respectivement − √ Eb), alors Y ∼ N(+ √ Eb, N0
2 )
(respectivement Y ∼ N(− √ Eb, N0
2 )). De façon générale, Y = X + B où B est le
bruit additif, supposé gaussien centré de variance N0/2 et indépendant de X, variable
aléatoire binaire correspondant au symbole d’entrée.
(b) Intuitivement, on se dit que le symbole d’entrée était plus vraisemblablement + √ Eb
(respectivement − √ Eb) si la sortie y est positive (respectivement négative). Cette
règle est en effet la bonne si les symboles d’entrée sont équiprobables, c’est-à-dire si
È(X = + √ Eb) =È(X = + √ Eb) = 1/2. Il suffit de comparer les probabilités conditionnelles
pour s’en convaincre. Il convient juste d’adapter la formule de Bayes et celle
des probabilités totales au cas d’un cocktail entre loi discrète et loi à densité, ce qui
donne ici : È(X = + Eb|y) = f(y|X = +√ Eb)È(X = + √ Eb)
d’où
È(X = + Eb|y) =
f(y)
f(y|X = + √ Eb)È(X = + √ Eb)
f(y|X = + √ Eb)È(X = + √ Eb)+f(y|X = − √ Eb)È(X = − √ Eb)
Il reste à tenir compte du fait que les symboles d’entrée sont équiprobables et des
densités respectives de la réponse Y connaissant X pour obtenir
È(X = + Eb|y) =
On en déduit automatiquement :
e −(y−√ Eb ) 2
N0 e −(y−√ Eb ) 2
N0 +e −(y+√ Eb ) 2
N0 1
=
1+e −4
È(X = − Eb|y) = 1−È(X = + Eb|y) = e−4
et par suite
È(X = + √ Eb|y)
È(X = − √ = e
Eb|y) 4
√ Eb
N 0 y
1+e −4
√ Eb
N 0 y
√
Eb
y N0 √
Eb
y N0 (3.2)
de sorte que ce rapport est supérieur à 1 si et seulement si y est positif, et la règle de
décision au maximum de vraisemblance correspond bien à la règle intuititive donnée
ci-dessus.
Remarque : si les symboles d’entrée ne sont pas équiprobables, il faut en tenir compte
dans la règle de décision. Supposons par exemple queÈ(X = + √ Eb) = 3/4, alors
l’équation (3.2) devient
È(X = + 3
Eb|y) =
3+e −4
et
È(X = + √ Eb|y)
È(X = − √ = 3 e
Eb|y) 4
√ Eb
N 0 y
√ Eb
N 0 y
Ainsi on décide que le symbole d’entrée était X = + √ Eb si
3 e 4
√
Eb
y −ln3 N0
N0 > 1 ⇔ y > τ = × √Eb
4
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités