Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

164 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
Exercice 3.26 (Surbooking (bis))
Figure 3.19 – Lois binomiale, de Poisson et normale pour le surbooking.
1. Le nombre d’absents à l’embarquement est une variable aléatoire S qui suit une loi binomiale
B(94,0.05). Puisque E[S] = 4.7 et Var(S) = 4.465, on peut être tenté d’approcher cette loi
binomiale par une loi normale N(4.7;4.465) pour estimer le nombre d’absents et la probabilité
qu’il y ait trop de monde à l’embarquement. La figure 3.19 représente les lois binomiale, de
Poisson et normale. Puisqu’une loi normale prend ses valeurs dansÊet non dansÆ, on
coupe la poire en deux et on estime cette probabilité par
4.7−3.5
È(N(4.7;4.465) ≤ 3.5) = 1−Φ √ ≈ 1−0.7157 = 0.284
4.465
2. La probabilité réelle qu’il y ait trop de monde à l’embarquement est en fait :
0 94 3 91 94 5 95 94 5 95
È(S ≤ 3) =È(S = 0)+···+È(S = 3) =
+···+
0 100 100 3 100 100
doncÈ(S ≤ 3) ≈ 0.303. L’approximation par une loi normale aboutit donc à une erreur
relative de (0.303−0.284)/0.303 ≈ 6.3%. La figure 3.20 illustre ce phénomène. Par ailleurs,
nous avons vu que l’approximation de la loi binomiale B(94,0.05) par une loi de Poisson
P(94×0.05) = P(4,7) donne comme estimation :
soit une erreur relative de 2.3%.
È(P(4,7) ≤ 3) = e −4,74,70
0! +···+e−4,74,73
3!
≈ 0,310
Figure 3.20 – Comparaison des probabilités de problème à l’embarquement.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités