Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 163
Exercice 3.25 (Sondage)
1. Puisque le sondage est fait avec remise, la loi suivie par X est binomiale de paramètres n
et p. Notons que si le sondage était fait sans remise dans une population totale de taille
N (comme c’est le cas en pratique, puisqu’on n’interroge pas deux fois la même personne),
ce serait une loi hypergéométrique H(N,n,p) (voir les exercices 2.4 et 2.10). Cependant, et
comme déjà mentionné, dès que n est négligeable devant N, ces deux lois sont très proches
l’une de l’autre : en d’autres termes, si le nombre de sondés est très faible par rapport à la
population totale, il y a très peu de chances d’interroger deux fois la même personne lorsqu’on
effectue un tirage avec remise.
2. Il est implicite ici que n est grand et p pas trop proche de 0, de sorte que nous pouvons
approcher la loi binomiale de paramètres n et p par une loi normale de mêmes espérance et
variance, à savoir np et np(1−p) :
B(n,p) ≈ N(np,np(1−p))
Or une loi normale se concentre à 95% dans un intervalle centré en sa moyenne et de rayon
égal à 1,96 fois l’écart-type, soit :
È(X ∈ [np−1.96 np(1−p),np+1.96 np(1−p)]) = 0.95
3. Un estimateur naturel ˆp de p est tout bonnement la proportion empirique d’électeurs favorables
au candidat, c’est-à-dire ˆp = X/n. Puisque E[X] = np, on a E[ˆp] = p. On dit que ˆp
est un estimateur non biaisé de p, c’est-à-dire qu’en moyenne, avec cet estimateur, on ne se
trompe pas.
4. On a vu qu’avec 95% de chances
np−1.96 np(1−p) ≤ X ≤ np+1.96 np(1−p)
d’où l’on déduit aussitôt qu’avec 95% de chances
p(1−p)
p−1.96 ≤ ˆp =
n
X
p(1−p)
≤ p+1.96
n n
5. L’étude de la fonctionx ↦→ x(1−x) permet de voir que pour toutx ∈ [0,1], 0 ≤ x(1−x) ≤ 1/4,
maximum atteint pour x = 1/2. De cette majoration et de la question précédente, on déduit
qu’avec 95% de chances
p− 0.98
√ n ≤ p−1.96
d’où un intervalle de confiance à 95% pour p
p(1−p) p(1−p)
≤ ˆp ≤ p+1.96
n
n
ˆp− 0.98
√ n ≤ p ≤ ˆp+ 0.98
√ n
≤ p+ 0.98
√ n
6. La taille de cet intervalle de confiance à 95% lorsqu’on interroge n personnes est 1.96/ √ n
donc pour 1000 personnes, il est de diamètre 0.062, soit une marge d’erreur de ±3.1%.
7. Pour savoir combien de personnes interroger pour obtenir un intervalle de confiance à 95%
de rayon 2%, il suffit de résoudre
0.98
√n ≤ 0.02 ⇔ n ≥ 2401
Il faut sonder environ 2400 personnes pour atteindre cette précision. Notons qu’en pratique,
ce n’est pas ce type de sondage qui est utilisé, mais plutôt des sondages stratifiés ou par
quotas.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2