Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

160 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
Figure 3.17 – Densité d’une loi log-normale.
3. Pour calculer la moyenne de X, on applique le théorème de transfert et on bricole un peu
pour se ramener à la densité d’une gaussienne :
E[X] = E[e Y ] =
+∞
−∞
e ye−y2
2
√ dy =
2π √ +∞
e
−∞
e−(y−1)2 2
√ dy
2π
et on reconnaît à l’intérieur de l’intégrale la densité d’une loi normale réduite et de moyenne
1, donc cette intégrale vaut 1 et E[X] = √ e. Le calcul du moment d’ordre 2 se fait suivant
le même principe :
E[X 2 ] = E[e 2Y ] =
+∞
−∞
e 2ye−y2
2
√ dy = e
2π 2
+∞
−∞
e−(y−2)2 2
√ dy
2π
et on reconnaît à l’intérieur de l’intégrale la densité d’une loi normale réduite et de moyenne
2, donc cette intégrale vaut 1 et E[X 2 ] = e 2 , ce qui donne bien Var(X) = e(e−1).
4. Il s’agit ici de calculer la probabilité que X soit inférieure à 0,5. Le plan de vol est limpide :
on commence par se ramener à une loi normale N(−0,5;0,09), laquelle est ensuite centrée
et réduite :
È(X < 0,5) =È(lnX < ln0,5) =È(Y < −ln2) =È Y +0,5
0,3
0,5−ln2
< ,
0,3
c’est-à-dire, puisque 0,5−ln2 ≈ −0,19 < 0 :
0,5−ln2 ln2−0,5
È(X < 0,5) = Φ = 1−Φ ≈ 1−Φ(0,64) ≈ 0,26.
0,3 0,3
En moyenne, avec ce modèle, 26% des grains de sable passent à travers le tamis.
Exercice 3.20 (La Belle de Fontenay)
Dans tout l’exercice, Φ est la fonction de répartition de la gaussienne standard.
1. La probabilité qu’une pomme de terre pèse plus de 250 grammes s’écrit
X −200
È(X > 250) =È
>
70
250−200
= 1−Φ(5/7) ≈ 0.24
70
2. De même, la probabilité qu’une pomme de terre pèse moins de 180 grammes est
X −200
È(X < 180) =È
<
70
180−200
= Φ(−2/7) = 1−Φ(2/7) ≈ 0.39
70
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités