Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 159
5. Pour déterminer E[X4 ], il y a deux méthodes équivalentes.
– Méthode analytique : on écrit l’espérance sous forme d’intégrale :
E[X 4 ] =
+∞
−∞
x 4
√ 2π e −(x−1)2
2 dx,
et on effectue le changement de variable u = x−1, ce qui donne :
E[X 4 ] =
+∞
−∞
(u+1) 4
√ 2π e −u2
2 du.
On utilise la formule du binôme : (u+1) 4 = u 4 +4u 3 +6u 2 +4u+1, et on peut alors tout
exprimer en fonction des In :
E[X 4 ] = 1
√ 2π (I4 +4I3 +6I2 +4I1 +I0) = 10.
– Méthode probabiliste : l’idée est la même, puisqu’on sait que si X ∼ N(1,1), alors Y =
X−1 ∼ N(0,1). Donc, par les calculs faits avant, on sait que E[Y] = E[Y 3 ] = 0, E[Y 2 ] = 1
et E[Y 4 ] = 3. Or on a : E[X 4 ] = E[(Y +1) 4 ] = E[Y 4 ] +4E[Y 3 ] +6E[Y 2 ]+4E[Y] +1 =
3+6+1 = 10.
Exercice 3.18 (Vitesse d’une molécule)
Afin de se ramener à la loi normale, posons σ 2 = (kT)/m, de sorte que la densité en question
s’écrit
f(x) = ax 2 x2
−
e 2σ2 et par un argument de parité évident, il vient
+∞
0
f(x)dx =
+∞
0
ax 2 x2
−
e 2σ2dx = 1
2
+∞
−∞
{x≥0},
ax 2 x2
−
e 2σ2dx = a√2πσ2 2
+∞
−∞
x
2 e− x2
2σ 2
√ 2πσ 2 dx,
écriture qui fait apparaître le moment d’ordre 2 d’une variable X suivant une loi normale centrée
et d’écart-type σ, lequel ne pose pas problème puisqu’il est égal à sa variance :
Ainsi, puisque f est une densité :
1 =
+∞
0
σ 2 = Var(X) = E[X 2 ] =
f(x)dx = a√ 2πσ 2
2
+∞
−∞
×σ 2 ⇔ a =
x
2 e− x2
2σ 2
√ 2πσ 2 dx.
2
π σ−3
2
3
m 2
= .
π kT
Exercice 3.19 (Loi log-normale)
1. Puisque X = e Y , on commence par remarquer que X ne prend que des valeurs positives, si
bien que si l’on convient de noter F la fonction de répartition de X, il s’ensuit que F(x) = 0
pour tout x ≤ 0. Prenons maintenant x > 0, alors :
F(x) =È(X ≤ x) =È(e Y ≤ x) =È(Y ≤ lnx) = Φ(lnx),
où Φ désigne comme d’habitude la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
2. La densité f de la variable X s’obtient alors en dérivant cette fonction de répartition et en
utilisant le fait que Φ ′ correspond à la densité de la gaussienne standard. Pour tout x > 0 :
f(x) = F ′ (x) = 1
x Φ′ (lnx) = 1
x √ 2π e−ln2 x
2
et bien entendu f(x) = 0 pour tout x ≤ 0. Cette densité est représentée figure 3.17.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2