Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 157
3. Notons f la densité de X. Il est clair que f = 0 surÊ− et sur [1,+∞[. Pour x ∈ [0,1], il
suffit de dériver la fonction de répartition F, ce qui donne au final :
f(x) = n(1−x) n−1 {0≤x≤1}.
Le calcul de l’espérance de X est alors automatique :
Êxf(x)dx
1
E[X] = = xn(1−x) n−1 dt,
où l’on applique naturellement une intégration par parties :
E[X] = [−x(1−x) n ] 1
0 +
1
0
0
(1−x) n dx =
− (1−x)n+1
n+1
1
0
= 1
n+1 .
Dans le cas particulier où n = 1, on a X = U1 et on retrouve E[X] = 1/2, moyenne d’une
loi uniforme sur [0,1].
Exercice 3.15 (Racines d’un trinôme aléatoire)
1. Le discriminant de P vaut :
∆ = 16(U 2 −U −2) = 16(U +1)(U −2).
2. On peut écrire D(u) = (u+1)(u −2), d’où l’on déduit que D admet les 2 racines −1 et 2,
est strictement négative sur ]−1,+2[ et strictement positive sur ]−∞,−1[ et sur ]+2,+∞[.
3. Pour que P ait deux racines réelles distinctes, il faut et il suffit que son discriminant soit
strictement positif. Au vu des deux questions précédentes et puisque U prend ses valeurs sur
[0,5], on en déduit que la probabilité p que P ait deux racines réelles distinctes vaut :
p =È(U ∈]−∞,−1[∪]+2,+∞[) =È(2 < U ≤ 5) = 3
5 .
Exercice 3.16 (Lien entre lois exponentielle et géométrique)
1. Puisque X est à valeurs dans ]0,+∞[, Y est à valeurs dansÆ∗ . Pour tout n ∈Æ∗ , on a :
È(Y = n) =È(n−1 < X ≤ n) = F(n)−F(n−1) = 1−e −n
− 1−e −(n−1)
qui s’écrit encore : È(Y = n) = 1−e −1 e −(n−1) .
= e −(n−1) −e −n
On voit que Y suit donc une loi géométrique de paramètre 1−1/e, noté Y ∼ G(1−1/e). Sa
moyenne vaut donc
1 e
E[Y] = = ≈ 1.58.
1−1/e e−1
Sa variance vaut quant à elle :
Var(Y) = 1−(1−1/e)
=
(1−1/e) 2
e
≈ 0.92.
(e−1) 2
2. Soit alors Z = Y − X. la variable Z est à valeurs dans [0,1[ puisque pour tout réel x,
x ≤ ⌈x⌉ < x+1. Soit donc z ∈ [0,1[ : dire que Z = Y −X = ⌈X⌉−X est inférieure à z,
c’est dire que X est à distance inférieure à z de l’entier supérieur le plus proche, c’est-à-dire
qu’il existe n ∈Æ∗ tel que n−z ≤ X ≤ n. Formalisons ceci :
+∞
È(Z ≤ z) =È
{n−z ≤ X ≤ n} .
n=1
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2