Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

156 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
3. Pour le calcul plus général, commençons par voir qu’un accident situé à plus de trente
kilomètres de la station ne peut se situer qu’en un endroit (disons à l’ouest de la station),
tandis qu’un accident situé à moins de trente kilomètres de la station peut se situer en deux
endroits (à l’est ou à l’ouest). Il faut 30 × 60/100 = 18 minutes pour faire 30 kms. Ainsi,
pour t ∈ [18,42], le raisonnement de la question précédente s’applique :
È(T > t) = 100−(30+t×100/60)
100
Pour t ∈ [0,18], on passe à l’événement complémentaire :
È(T >
= 7 t
−
10 60 .
t) = 1−È(T ≤ t) = 1− (30+t×100/60) −(30−t×100/60)
100
= 1− t
30 .
Par ailleurs, il est clair queÈ(T > t) = 1 pour tout t ≤ 0 etÈ(T > t) = 0 pour tout t ≥ 42.
4. La fonction de répartition F de la variable T est nulle à gauche de 0 et vaut 1 à droite de
42, donc la densité f est nulle à gauche de 0 et à droite de 1. Pour t ∈ [0,18], nous pouvons
écrire :
tandis que pour t ∈ [18,42] :
F(t) = 1−È(T > t) = t
30
F(t) = 1−È(T > t) = 3 t
+
10 60
⇒ f(t) = 1
30 ,
⇒ f(t) = 1
60 .
La densité de T est donc une fonction constante par morceaux. Dans ces conditions, la
moyenne de T vaut :
E[T] =
Êtf(t)dt = 1
30
18
0
tdt+ 1
60
42
18
tdt = 1
30
t 2
2
18
0
+ 1
60
Le temps d’intervention moyen est donc de 17 minutes et 24 secondes.
Pour la variance, commençons par calculer le moment d’ordre 2 de T :
E[T 2 ] =
Êt 2 f(t)dt = 1
30
18
0
t 2 dt+ 1
60
42
18
t 2 dt = 1
30
t 3
3
18
0
t 2
+ 1
60
2
42
t 3
3
18
42
= 17.4
18
= 444.
On en déduit Var(X) = 444 − 17.4 2 = 141.24, donc σ(X) ≈ 11.88. L’écart-type du temps
d’intervention est donc un peu inférieur à 12 minutes.
Exercice 3.14 (Minimum d’uniformes)
1. On connaît la fonction de répartition d’une loi uniforme donc pour t ∈ [0,1] :
È(U > t) = 1−È(U ≤ t) = 1−t.
2. La variable X est à valeurs dans l’intervalle [0,1] donc sa fonction de répartition vaut 0 sur
Ê− et 1 sur [1,+∞[. Pour t ∈ [0,1], passons à l’événement complémentaire :
F(x) =È(X ≤ x) = 1−È(X > x) = 1−È(U1 > x,...,Un > x),
et appliquons l’indépendance des variables Ui :
F(x) = 1−È(U1 > x)...È(Un > x) = 1−(1−x) n .
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités