Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

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154 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité 2. Pour répondre à cette question, il suffit d’appliquer le résultat précédent en considérant X1 (respectivement X2) comme le temps mis par Alice (respectivement Bob) pour pouvoir sortir. L’énoncé implique que X1 ∼ E(1/20) et X2 ∼ E(1/30). Le temps mis par le premier pour sortir est la variable aléatoire Y = min(X1,X2), laquelle suit donc une loi exponentielle de paramètre 1/20 + 1/30 : Y ∼ E(5/60). En moyenne, le premier sort donc au bout de E[Y] = 60/5 = 12 minutes. 3. Le temps nécessaire pour que les deux soient sortis correspond à la variableX = max(X1,X2). La loi de X n’est plus une bête exponentielle : on pourrait facilement la déterminer via sa fonction de répartition, mais nul besoin ici puisqu’on ne s’intéresse qu’à sa moyenne. Il suffit en effet de remarquer que X +Y = X1 +X2 pour en déduire que E[X] = E[X1]+E[X2]−E[Y] = 20+30−12 = 38 minutes. Remarque : Notons que par définition du minimum, nous avons à la fois Y ≤ X1 et Y ≤ X2, donc il n’est pas étonnant de voir que E[Y] ≤ E[X1] et E[Y] ≤ E[X2] (propriété de positivité de l’espérance). Idem pour le maximum. Exercice 3.11 (Think Tank) 1. Comme d’habitude, il faut que c vérifie : Êf(x)dx 1 = = c donc il faut c = 5, ce qui donne 1 0 (1−x) 4 dx = c f(x) = 5(1−x) 4 {0
3.6. Corrigés 155 Exercice 3.12 (Loi polynomiale) 1. Pour que f soit effectivement une densité, il faut que Êf(x)dx 1 = = c 1 0 (x+x 2 x2 )dx = c 2 1 x3 + = 3 0 5c 6 , donc il faut c = 6/5, ce qui donne f(x) = 6 5 (x+x2 ) {0 30) = 100−80 1 = 100 5 . Il y a donc une chance sur 5 que l’ambulance mette plus d’une demi-heure à intervenir. <strong>Probabilités</strong> Arnaud Guyader - <strong>Rennes</strong> 2
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Chapitre 1 Espaces probabilisés In
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1.4. Exercices 13 1.4 Exercices Exe
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Bibliographie [1] Nicolas Bouleau.
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