Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

154 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
2. Pour répondre à cette question, il suffit d’appliquer le résultat précédent en considérant X1
(respectivement X2) comme le temps mis par Alice (respectivement Bob) pour pouvoir sortir.
L’énoncé implique que X1 ∼ E(1/20) et X2 ∼ E(1/30). Le temps mis par le premier pour
sortir est la variable aléatoire Y = min(X1,X2), laquelle suit donc une loi exponentielle
de paramètre 1/20 + 1/30 : Y ∼ E(5/60). En moyenne, le premier sort donc au bout de
E[Y] = 60/5 = 12 minutes.
3. Le temps nécessaire pour que les deux soient sortis correspond à la variableX = max(X1,X2).
La loi de X n’est plus une bête exponentielle : on pourrait facilement la déterminer via sa
fonction de répartition, mais nul besoin ici puisqu’on ne s’intéresse qu’à sa moyenne. Il suffit
en effet de remarquer que X +Y = X1 +X2 pour en déduire que
E[X] = E[X1]+E[X2]−E[Y] = 20+30−12 = 38 minutes.
Remarque : Notons que par définition du minimum, nous avons à la fois Y ≤ X1 et Y ≤ X2,
donc il n’est pas étonnant de voir que E[Y] ≤ E[X1] et E[Y] ≤ E[X2] (propriété de positivité
de l’espérance). Idem pour le maximum.
Exercice 3.11 (Think Tank)
1. Comme d’habitude, il faut que c vérifie :
Êf(x)dx 1 = = c
donc il faut c = 5, ce qui donne
1
0
(1−x) 4 dx = c
f(x) = 5(1−x) 4 {0