Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 153
2. La variable X est à valeurs dans [0,1], donc sa fonction de répartition est nulle surÊ− et vaut
1 sur [1,+∞[. Notons P (respectivement F) l’événement “la pièce donne Pile (respectivement
Face)” et U le résultat du tirage uniforme. Considérons x ∈ [0,1[, alors par indépendance du
lancer de dé et du tirage uniforme il vient :
F(x) =È(X ≤ x) =È({U ≤ x}∩{F}) =È(U ≤ x)È(F) = x
2 .
Ainsi F est une fonction continue par morceaux, avec un saut d’amplitude 1/2 en 1 (cf. figure
3.14). Autrement dit, la variable X n’est ni discrète ni absolument continue, c’est une sorte
de cocktail.
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1/2
Figure 3.14 – Fonction de répartition de la variable “cocktail”.
Exercice 3.10 (Minimum de variables exponentielles)
1. On considère deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 exponentielles de paramètres
respectifs λ1 et λ2. Soit Y = min(X1,X2) le minimum de ces deux variables.
(a) Pour tout réel y :
P(X1 > y) = 1−P(X1 ≤ y) = 1−F1(y),
où F1 est la fonction de répartition de la loi exponentielle E(λ1). Ainsi, P(X1 > y) = 1
si y ≤ 0, et si y ≥ 0 nous avons
−λ1y
P(X1 > y) = 1− 1−e = e −λ1y
.
(b) La variable Y , en tant que minimum de deux variables positives, est elle-même positive
donc P(Y > y) = 1 pour tout y ≤ 0. Pour y > 0, utilisons l’indépendance des deux
variables pour transformer une probabilité d’intersection en produit de probabilités :
P(Y > y) =È(min(X1,X2) > y) =È(X1 > y,X2 > y) =È(X1 > y)È(X2 > y)
c’est-à-dire :
P(Y > y) = e −λ1y e −λ2y = e −(λ1+λ2)y .
En notant F la fonction de répartition de la variable Y , il en découle que pour tout
y > 0 :
F(y) = 1−P(Y > y) = 1−e −(λ1+λ2)y ,
et bien sûr F(y) = 0 si Y ≤ 0.
(c) La fonction de répartition caractérisant complètement la loi d’une variable aléatoire, on
en déduit que Y suit une loi exponentielle de paramètre (λ1 +λ2).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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