Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 147
Le nombre arctanx est entre −π/2 et +π/2 : la variable Y étant uniforme sur cet intervalle,
sa probabilité de tomber à gauche de arctanx est le rapport entre la longueur du segment
]−π/2,arctanx[ et celle de l’intervalle ]−π/2,+π/2[, c’est-à-dire
F(x) = arctanx−(−π/2)
π
= 1 1
+
2 π arctanx,
que l’on reconnaît être la fonction de répartition d’une loi de Cauchy. Autrement dit, X suit
une loi de Cauchy de paramètre 1.
Remarque : ceci donne un moyen très simple de simuler une variable de Cauchy à partir
d’une variable uniforme.
Exercice 3.3 (Densités parabolique et circulaire)
1. Pour que f soit bien une densité de probabilité, il faut que son intégrale soit égale à 1 :
Êf(x)dx 1 = = c
1
−1
(1−x 2
)dx = c x− x3
3
1
−1
= 4c
3 ,
donc c = 3/4 et f(x) = 3
4 (1−x2 ) {−1