Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

∈Ê
146 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
donc c = 1/π et la densité d’une variable de Cauchy de paramètre 1 (cf. figure 3.9 à gauche)
est
1
∀x f(x) =
π(1+x 2 ) .
Remarque : De façon plus générale, une loi de Cauchy de paramètre a > 0 a pour densité
f(x) = a
π(a 2 +x 2 ) .
2. La fonction de répartition F de X est définie pour tout réel x par :
F(x) =È(X ≤ x) =
x
−∞
dt
π(1+t 2 1
=
) π [arctant]x
1 1
−∞ = +
2 π arctanx.
Cette fonction de répartition est représentée figure 3.9 à droite.
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20
Figure 3.9 – Densité et fonction de répartition d’une loi de Cauchy.
3. Par définition, la variable X de densité f admet une espérance si l’intégrale Êxf(x)dx est
convergente. Or dans notre cas
Êxf(x)dx =
+∞
−∞
x
π(1+x 2 0
dx =
) −∞
x
π(1+x 2 ) dx+
+∞
0
x
π(1+x 2 ) dx,
intégrale doublement généralisée, qui converge si et seulement si les deux intégrales sont
convergentes. Or
+∞ x
π(1+x 2 1 2 +∞
dx = ln(1+x ) = +∞,
) 2π 0
0
donc l’intégrale définissant l’espérance est divergente. Par conséquent la variable X n’admet
pas d’espérance. Ceci est dû au fait que les queues de la densité de X ne décroissent pas
assez vite vers zéro lorsque x tend vers ±∞. La loi de Cauchy est un exemple typique de loi
à queue lourde (heavy-tailed distribution).
4. Si Y est une variable aléatoire uniforme sur −π
π
2 , 2 , sa densité est
f(y) = 1
π ]−π
2 ,π
2[ (x).
La fonction tangente établit une bijection de −π
π
2 , 2 vers ]−∞,+∞[, donc X est à valeurs
dansÊtout entier. Calculons sa fonction de répartition en utilisant le fait que la fonction
arctan est la réciproque de la fonction tan et qu’elle est croissante : pour tout réel x, on a
F(x) =È(X ≤ x) =È(tanY ≤ x) =È(Y ≤ arctanx).
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités