Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.6. Corrigés 145
5. On note maintenant Mn = max(X1,...,Xn), où X1,...,Xn sont variables aléatoires indépendantes
et identiquement distribuées de loi exponentielle de paramètre 1. Pour tout réel
x, calculer Fn(x) =È(Mn ≤ x).
6. Soit u un réel fixé, que vaut limn→+∞(1− u
n )n ? En déduire que pour tout réel x
3.6 Corrigés
lim
n→+∞ Fn(x+lnn) = g(x).
Exercice 3.1 (Espérance et variance d’une loi uniforme)
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0,1], c’est-à-dire f(x) =
[0,1](x).
1. Par définition de l’espérance, on a
Êxf(x)dx E[X] = =
1
0
x2 xdx =
2
1
0
= 1
2 .
Ceci pouvait se voir sans calculs : la moyenne d’une variable uniforme est le milieu des
extrémités du segment où elle tombe. Pour la variance, on obtient :
Var(X) = E[X 2 ]−(E[X]) 2 =
1
2. De façon générale, le moment d’ordre n de X vaut
E[X n ] =
1
0
0
x 2 dx− 1
4 =
x n
xn+1 dx =
n+1
1
0
x 3
3
1
0
= 1
n+1 .
− 1 1
=
4 12 .
3. Soit a et b deux réels tels que a < b. Comme son nom l’indique, la densité uniforme sur le
segment [a,b] doit être constante sur ce segment, donc de la forme f(x) = c [a,b](x). Il reste
à déterminer c pour que f soit effectivement une densité, or
Êxf(x)dx =
b
a
cdx = [cx] b
a = c(b−a),
quantité qui doit valoir 1 par définition d’une densité, d’où c = (b−a), et
f(x) = 1
b−a [a,b](x).
Le même type de calculs qu’en première question donne alors E[X] = (a + b)/2 (l’interprétation
étant la même que ci-dessus : en moyenne, on tombe au milieu de l’intervalle) et
Var(X) = (b − a) 2 /12, formule à mettre en parallèle avec Var(X) = (n 2 − 1)/12 d’une loi
uniforme discrète sur {1,...,n}.
Exercice 3.2 (Loi de Cauchy)
1. Rappelons qu’une primitive de 1/(1 + x2 ) est la fonction arctan, fonction croissante deÊ
. Ainsi
dans ]− π π
2 , 2 [ avec limx→−∞arctanx = −π 2 et limx→+∞arctanx = π
2
Êf(x)dx =
+∞
−∞
c
1+x 2dx = c[arctanx]+∞ −∞ = cπ,
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2