Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

144 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
(c) Calculer le nombre d’années nécessaires pour que 99% du strontium 90 produit par une
réaction nucléaire se soit désintégré.
Exercice 3.41 (Durée de vie d’un processeur)
On modélise la durée de vie d’un processeur (en années) par une loi exponentielle de paramètre
1/2.
1. Que vaut la durée de vie moyenne d’un tel processeur?
2. Avec quelle probabilité le processeur fonctionne-t-il plus de six mois ?
3. Chaque vente de processeur rapporte 100 euros à son fabriquant, sauf s’il doit être échangé
pendant les six mois de garantie, auquel cas il ne rapporte plus que 30 euros. Combien
rapporte en moyenne un processeur?
Exercice 3.42 (Densité quadratique)
On considère une variable aléatoire X de densité
c x2 0 ≤ x ≤ 3
f(x) =
0 ailleurs
1. Evaluer la constante c pour que f soit une densité de probabilité. Donner l’allure de f.
2. Déterminer la fonction de répartition F de X. Donner son allure.
3. CalculerÈ(1 < X < 2).
4. Déterminer espérance et variance de X.
5. Pour tout n ∈Æ∗ , déterminer le moment d’ordre n de X.
Exercice 3.43 (Accidents et fréquence cardiaque)
1. On considère que, pour un conducteur, le nombre de kilomètres avant le premier accident suit
une loi normale d’espérance 35000 km avec un écart-type de 5000 km. Pour un conducteur
choisi au hasard, déterminer la probabilité :
(a) qu’il ait eu son premier accident avant d’avoir parcouru 25000 km.
(b) qu’il ait eu son premier accident après avoir parcouru 25000 km et avant 40000 km.
(c) qu’il n’ait pas eu d’accident avant d’avoir parcouru 45000 km.
(d) Au bout de combien de kilomètres peut-on dire que 80% des conducteurs ont eu leur
premier accident?
2. La fréquence cardiaque chez un adulte en bonne santé est en moyenne de 70 pulsations par
minute, avec un écart-type de 10 pulsations. Soit X la variable aléatoire représentant la
fréquence cardiaque chez un adulte.
(a) A l’aide de l’inégalité de Tchebychev, minorer P(50 < X < 90).
(b) Si on suppose maintenant que X suit une loi normale, que vaut P(50 < X < 90)?
Exercice 3.44 (Loi de Gumbel)
1. On considère la fonction g définie pour tout réel x par g(x) = e−e−x. Calculer ses limites en
−∞ et +∞, sa dérivée, et donner l’allure de g.
2. Vérifier que la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = e −x−e−x
est une densité.
3. Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 1. Rappeler ce que vaut la
fonction de répartition F de X. Donner son allure.
4. Soit X1 et X2 des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi
exponentielle de paramètre 1, et soit M = max(X1,X2) la variable aléatoire correspondant
au maximum de ces deux variables. Pour tout réel x, calculerÈ(M ≤ x). En déduire la
densité de M.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités