Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

142 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
2. Calculer la dérivée de f. En déduire le mode de X, c’est-à-dire l’abscisse du point où f est
maximale.
3. Représenter f.
4. Déterminer la fonction de répartition F de X. Donner son allure.
5. Supposons que la durée de vie (en années) d’un élément soit distribuée selon la loi de Weibull
ci-dessus.
(a) Quelle est la probabilité que cet élément dure plus de 2 ans ?
(b) Quelle est la probabilité que sa durée de vie soit comprise entre un an et deux ans ?
(c) Quelle est la probabilité que sa durée de vie soit supérieure à deux ans sachant qu’il
fonctionne encore au bout d’un an?
Exercice 3.35 (Loi du khi-deux)
Soit X une variable distribuée selon une loi normale centrée réduite N(0,1).
1. Rappeler la moyenne et la variance de X. En déduire E[X 2 ].
2. Rappeler la densité de X. Grâce à une intégration par parties et en utilisant la question
précédente, montrer que E[X 4 ] = 3.
3. SoitY = X 2 . Exprimer la variance deY en fonction des moments deX. Déduire des questions
précédentes que Var(Y) = 2.
4. Soit n ∈Æ∗ un entier naturel non nul. Si X1,...,Xn sont des variables indépendantes
et identiquement distribuées suivant la loi normale centrée réduite, on dit que la variable
Sn = X 2 1 +···+X2 n suit une loi du khi-deux à n degrés de liberté, noté Sn ∼ χ 2 n .
(a) Calculer la moyenne et la variance de Sn.
(b) On tire 200 variables gaussiennes centrées réduites, on les élève au carré et on les ajoute
pour obtenir un nombre S. Donner un intervalle dans lequel se situe S avec environ
95% de chances.
Exercice 3.36 (Loi de Laplace)
On considère une variable aléatoire X dont la densité f est donnée par :
∀x ∈Ê, f(x) = 1
2 e−|x| ,
où |x| représente la valeur absolue de x, c’est-à-dire |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x ≤ 0.
1. Vérifier que f est bien une densité surÊ. Représenter f.
2. On note F la fonction de répartition de X. Calculer F(x) (on distinguera les cas x ≤ 0 et
x ≥ 0). Représenter F.
3. Montrer que E[X] = 0.
4. Pour tout n ∈Æ, on appelle In l’intégrale définie par :
(a) Combien vaut I0 ?
+∞
In = x
0
n e −x dx.
(b) Montrer que pour tout n ∈Æ∗ , In = nIn−1. En déduire que In = n! pour tout n ∈Æ.
5. Pour tout n ∈Æ, calculer E[X 2n ]. Que vaut Var(X)?
6. Pour tout n ∈Æ, que vaut E[X 2n+1 ]?
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités