Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.5. Exercices 141
3. Déterminer la médiane de X, c’est-à-dire la valeur m telle queÈ(X > m) = 1/2.
4. Rappeler ce que vaut la quantité
1
√ 2π
+∞
−∞
e −x2
2 dx
En déduire la valeur de +∞
0 e −x2
2 dx.
5. Grâce (par exemple) à une intégration par parties, montrer que E[X] = π
2
6. Soit U une variable aléatoire distribuée suivant une loi uniforme sur ]0,1].
(a) Rappeler ce que vaut la fonction de répartition FU de U.
(b) On considère maintenant la variable aléatoire X = √ −2lnU. Dans quel intervalle X
prend-elle ses valeurs ?
(c) En passant par sa fonction de répartition FX, montrer que la variable aléatoire X suit
une loi de Rayleigh de paramètre 1.
Exercice 3.32 (Loi de Rademacher et marche aléatoire)
Soit X une variable suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2.
1. Rappeler la moyenne et la variance de X.
2. On considère maintenant la variable aléatoire Y = 2X −1. Quelles valeurs peut prendre Y ?
Avec quelles probabilités ? On dit que Y suit une loi de Rademacher.
3. Calculer la moyenne et la variance de Y .
4. On considère maintenant 100 variables aléatoires indépendantes Y1,...,Y100, chacune suivant
la loi de Rademacher. On note S100 = Y1 +···+Y100 la somme de ces variables.
(a) Quelles valeurs peut prendre la variable S100 ? Préciser sa moyenne et sa variance.
(b) Un homme ivre quitte un troquet : il fait des pas d’un mètre, un coup à droite, un coup
à gauche, et ce de façon équiprobable et indépendante. Au bout de 100 pas, dans un
rayon de combien de mètres autour de son point de départ va-t-il se trouver avec 95%
de chances ?
Exercice 3.33 (Précipitation vs. précision)
1. La quantité annuelle de précipitations (en cm) dans une certaine région est distribuée selon
une loi normale de moyenne 140 et de variance 16.
(a) Quelle est la probabilité qu’en une année il pleuve plus de 150 cm?
(b) Quelle est la probabilité qu’à partir d’aujourd’hui, il faille attendre au moins 10 ans
avant d’obtenir une année avec une quantité annuelle de pluie supérieure à 150 cm?
2. La largeur (en cm) d’une fente entaillée dans une pièce suit une loi normale de moyenne
m = 2 et d’écart-type σ. Les limites de tolérance sont données comme étant 2±0.012.
(a) Si σ = 0.007, quel sera le pourcentage de pièces défectueuses ?
(b) Quelle est la valeur maximale que peut prendre σ de sorte que le pourcentage de pièces
défectueuses ne dépasse pas 1%?
Exercice 3.34 (Loi de Weibull)
On considère une variable aléatoire X de densité
3x2 e−x f(x) =
3
si x ≥ 0
0 si x < 0
1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité. On dit que X suit une loi de Weibull.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
(3.1)