Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

140 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
(c) Montrer que :
−
+∞
−∞
(d) En déduire que h(X2) ≤ h(X1).
f(x)lnϕ(x)dx = 1
2 (1+ln(2πσ2 )).
Exercice 3.29 (Nul n’est censé ignorer la loi normale)
1. On appelle premier quartile q1 (respectivement troisième quartile q3) d’une variable aléatoire
X à densité le réel tel queÈ(X ≤ q1) = 1/4 (respectivementÈ(X ≤ q3) = 3/4). Déterminer
le premier et le troisième quartile d’une loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 5.
2. Un groupe de 200 étudiants passe en début d’année un examen et les notes sont approximativement
distribuées suivant une loi normale de moyenne 9 et d’écart-type 2. L’enseignant
décide de faire des séances de rattrapage pour les étudiants dont les notes sont les plus faibles
mais il ne peut encadrer que 30 étudiants. Quelle est la note limite permettant à un étudiant
de bénéficier du rattrapage?
3. La durée de la grossesse, en jours, est modélisée par une loi normale de moyenne 270 et
de variance 100. Lors d’un procès en attribution de paternité, l’un des pères putatifs peut
prouver son absence du pays sur une période allant du 290e au 240e jour avant la naissance.
Quelle est la probabilité qu’il puisse être le père malgré cet alibi?
4. Dans une université, une promotion de première année ne doit pas dépasser 200 étudiants.
En se basant sur le constat que seulement un candidat accepté sur trois viendra effectivement
à la rentrée, la politique de l’université est d’accepter systématiquement 500 étudiants.
(a) Sur 500 candidats acceptés, quelle est la loi de la variable X correspondant au nombre
d’étudiants effectivement présents à la rentrée?
(b) En utilisant l’approximation normale, estimer la probabilité qu’il y ait plus de 200
étudiants présents à la rentrée.
Exercice 3.30 (Loi bêta)
On considère une variable aléatoire X de densité
f(x) =
c x(1−x) si 0 ≤ x ≤ 1
0 ailleurs
1. Evaluer la constante c pour que f soit une densité de probabilité. Représenter f.
2. Déterminer la fonction de répartition F de X. La représenter.
3. CalculerÈ(1/4 < X < 3/4).
4. Déterminer espérance et variance de X.
5. MinorerÈ(1/4 < X < 3/4) grâce à l’inégalité de Tchebychev.
6. Pour tout n ∈Æ∗ , déterminer le moment d’ordre n de X.
Exercice 3.31 (Loi de Rayleigh)
On considère une variable aléatoire X de densité
f(x) =
x e −x2
2 si x ≥ 0
0 si x < 0
1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité. Donner l’allure de f. On dit que X suit
une loi de Rayleigh de paramètre 1.
2. Déterminer la fonction de répartition F de X. Donner son allure.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
(3.1)
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