Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

138 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
1. Quelle est la loi suivie par X ?
2. Grâce à l’approximation normale, donner en fonction de n et p un intervalle où X a 95% de
chances de se situer.
3. Donner un estimateur naturel ˆp de p. Quelle est sa moyenne?
4. Donner en fonction de n et p un intervalle où ˆp a 95% de chances de se situer.
5. Donner un majorant de x(1−x) lorsque x ∈ [0,1]. En déduire un intervalle de confiance à
95% pour p.
6. Quelle est la taille de cet intervalle lorsqu’on interroge 1000 personnes ?
7. Combien de personnes faut-il interroger pour obtenir une estimation à ±2% ?
Exercice 3.26 (Surbooking (bis))
Reprenons le contexte de l’exercice 2.22 : des études effectuées par une compagnie aérienne
montrent qu’il y a une probabilité 0,05 qu’un passager ayant fait une réservation n’effectue pas le
vol. Dès lors, elle vend toujours 94 billets pour ses avions à 90 places. On veut évaluer la probabilité
qu’il y ait un problème à l’embarquement, c’est-à-dire qu’il y ait au plus 3 absents.
1. Estimer cette probabilité en utilisant l’approximation d’une loi binomiale par une loi normale.
2. Comparer à la vraie valeur d’une part et à la valeur obtenue par l’approximation de Poisson
d’autre part. Comment expliquez-vous que l’approximation gaussienne ne marche pas ici?
Exercice 3.27 (Queue de la gaussienne)
On appelle fonction de Marcum, ou queue de la gaussienne, la fonction définie pour tout réel x
par :
Q(x) = 1
√ 2π
+∞
x
e −t2
2 dt.
1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite N(0,1). Représenter la
densité de X, puis Q(x) sur ce même dessin. Soit F la fonction de répartition de X : donner
la relation entre F(x) et Q(x).
2. Soit x > 0 fixé. Dans l’intégrale définissant Q(x), effectuer le changement de variablet = x+u
et, tenant compte de e −ux ≤ 1, montrer qu’on a :
3. Pour t ≥ x > 0, montrer que :
4. En déduire que :
1
(1+ 1
x 2) √ 2π
+∞
x
Q(x) ≤ 1
2 e−x2 2 .
1+ 1
t 2
1+ 1
x 2
≤ 1 ≤ t
x .
1+ 1
t2
e −t2
2 dt ≤ Q(x) ≤ 1
x √ 2π
+∞
5. Calculer la dérivée de 1
te−t2 2 . En déduire que, pour tout x > 0, on a :
6. En déduire un équivalent de Q(x) en +∞.
1
(1+ 1
x2)x √ 2π e−x2 2 ≤ Q(x) ≤ 1
x √ 2π e−x2 2 .
x
te −t2
2 dt.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités