Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.5. Exercices 137
Exercice 3.19 (Loi log-normale)
Soit m et σ deux réels, avec σ > 0. On dit que X suit une loi log-normale, ou de Galton, de
paramètres (m,σ 2 ), noté X ∼ LN(m,σ 2 ), si Y = lnX suit une loi normale N(m,σ 2 ). Cette loi
intervient lors de la multiplication d’un grand nombre de variables indépendantes et positives. En
linguistique, elle sert à modéliser le nombre de mots dans une phrase.
1. Supposons que X ∼ LN(0,1). Exprimer sa fonction de répartition F à l’aide de la fonction
de répartition Φ de la loi normale centrée réduite.
2. En déduire que sa densité est :
Représenter f.
f(x) = 1
x √ 2π e−ln2 x
2
{x>0}.
3. Montrer que son espérance vaut E[X] = √ e et sa variance Var(X) = e(e−1).
4. Un tas de sable est composé de grains homogènes sphériques. La diamètre X d’un grain suit
la loi LN(−0,5;0,09), l’unité étant le millimètre. On passe le tas au crible d’un tamis dont
les trous sont circulaires, de diamètre 0,5 mm. Quelle est la proportion de grains de sable
passant à travers le tamis ?
Exercice 3.20 (La Belle de Fontenay)
On suppose que la masse X d’une pomme de terre Belle de Fontenay suit une loi normale de
moyenne m = 200 g et d’écart-type σ = 70 g. Quelle est la probabilité qu’une pomme de terre :
1. pèse plus de 250 grammes ?
2. pèse moins de 180 grammes ?
3. ait une masse comprise entre 190 et 210 grammes ?
Exercice 3.21 (Quantile et variance)
1. Supposons que X suive une loi normale de moyenne 12 et de variance 4. Trouver la valeur q
telle queÈ(X > q) = 0,1.
2. Soit X ∼ N(5,σ 2 ). Déterminer la variance σ 2 telle queÈ(X > 9) = 0,2.
Exercice 3.22 (Répartition des tailles)
La taille d’un homme âgé de 25 ans suit une loi normale de moyenne 175 et d’écart-type 6.
1. Quel est le pourcentage d’hommes ayant une taille supérieure à 1m85?
2. Parmi les hommes mesurant plus de 1m80, quelle proportion mesure plus de 1m92?
Exercice 3.23 (Choix de machine)
La longueur des pièces (en mm) produites par une machine A (resp. B) suit une loi normale N(8;4)
(resp. N(7,5;1)). Si vous voulez produire des pièces de longueurs 8±1 mm, quelle machine vaut-il
mieux choisir?
Exercice 3.24 (Approximation gaussienne)
Soit X le nombre de Pile obtenus en 400 lancers d’une pièce équilibrée.
1. Grâce à l’approximation normale, estimerÈ(190 ≤ X ≤ 210).
2. Idem pourÈ(210 ≤ X ≤ 220).
3. Reprendre les questions précédentes pour une pièce biaisée oùÈ(Pile) = 0.51.
Exercice 3.25 (Sondage)
Deux candidats, Alice et Bob, sont en lice lors d’une élection. On note p la proportion d’électeurs
pour Alice dans la population totale. Afin d’estimer p, on effectue un sondage (avec remise) auprès
de n personnes. Notons X le nombre d’électeurs favorables à Alice dans cet échantillon.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2