Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

10 Chapitre 1. Espaces probabilisés
Remarque. On peut élargir la définition d’une partition à une famille dénombrable (An)n≥0
d’événements deux à deux incompatibles et dont l’union fait Ω (c’est-à-dire qu’il y a toujours
exactement l’un des An qui se réalise). Dans ce cas la formule des probabilités totales fait intervenir
une série :
+∞
È(B) =
n=0È(B|An)È(An).
Tout est maintenant prêt pour la fameuse formule de Bayes, ou formule de probabilité des causes.
Proposition 1.3 (Formule de Bayes)
Soit (Ω,F,È) muni d’une partition (A1,...,An), alors pour tout événement B et pour tout indice
j on a : È(Aj|B) = È(B|Aj)È(Aj)
n
i=1È(B|Ai)È(Ai) .
Preuve. C’est l’âne qui trotte. Il suffit en effet d’écrire :
∩Aj)
È(Aj|B) =È(B
,
È(B)
puis d’utiliser la décompositionÈ(B∩Aj) =È(B|Aj)È(Aj) pour le numérateur et la formule des
probabilités totales pour le dénominateur.
En pratique, lorsqu’on considère une partition de type (A,A), cette formule devient :
È(A|B) =
È(B|A)È(A)
È(B|A)È(A)+È(B|A)È(A) .
Une application typique au problème de dépistage d’une maladie est donnée en exercice 1.22.
1.3 Indépendance
La notion d’indépendance intervient de façon constante en probabilités. Intuitivement, deux événements
sont indépendants si la réalisation de l’un “n’a aucune influence” sur la réalisation ou non
de l’autre. Le but de cette section est de préciser ceci mathématiquement et de l’étendre à plus de
deux événements. Dans toute la suite, (Ω,F,È) est un espace probabilisé fixé.
Définition 1.5 (Indépendance de 2 événements)
On dit que deux événements A et B sont indépendants si
È(A∩B) =È(A)È(B).
Si A est tel queÈ(A) > 0, l’indépendance de A et B s’écrit encoreÈ(B|A) =È(B) et on retrouve
la notion intuitive d’indépendance : le fait que A se soit réalisé ne change rien quant à la probabilité
que B se réalise.
Exemples :
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités