Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.5. Exercices 135
(a) Quelle est la probabilité que le plus petit des deux nombres soit supérieur à 1/3?
(b) Quelle est la probabilité que le plus grand des deux nombres soit supérieur à 3/4, sachant
que le plus petit des deux est supérieur à 1/3?
Exercice 3.9 (Problèmes de densité)
1. Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0,1] et soit Y = 1−X.
Donner la fonction de répartition de Y . En déduire la densité de Y . Est-ce que la variable
aléatoire Z = (X +Y) admet une densité?
2. On construit une variable aléatoire X en commençant par lancer une pièce équilibrée : si on
obtient Pile, alors X = 1; si on obtient Face, X est le résultat d’un tirage uniforme dans le
segment [0,1]. Donner la fonction de répartition de X.
Exercice 3.10 (Minimum d’exponentielles)
1. On considère deux variables aléatoires indépendantes X1 et X2 exponentielles de paramètres
respectifs λ1 et λ2. Soit Y = min(X1,X2) le minimum de ces deux variables.
(a) Pour tout réel y, calculerÈ(X1 > y).
(b) En déduireÈ(Y > y), puis la fonction de répartition F de la variable Y .
(c) En déduire que Y suit une loi exponentielle de paramètre λ1 +λ2.
2. Deux guichets sont ouverts à une banque : le temps de service au premier (respectivement
second) guichet suit une loi exponentielle de moyenne 20 (respectivement 30) minutes. Alice
et Bob arrivent ensemble à la banque : Alice choisit le guichet 1, Bob le 2. En moyenne, au
bout de combien de temps sort le premier?
3. En moyenne, combien de temps faut-il pour que les deux soient sortis ? (Indication : le max
de deux nombres, c’est la somme moins le min.)
Exercice 3.11 (Think Tank)
Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres, est une variable
aléatoire X de densité f(x) = c(1−x) 4 {0 t) en fonction de t.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2