Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

134 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
Exercice 3.4 (Loi exponentielle)
Soit λ > 0 fixé. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ si X admet pour densité
f(x) = λe −λx {x≥0}. On note alors X ∼ E(λ).
1. Représenter f. Vérifier que f est bien une densité.
2. Calculer et représenter la fonction de répartition F.
3. Calculer espérance et variance de X.
4. La durée de vie T en années d’une télévision suit une loi de densité f(t) = 1
t
8e− 8
{t≥0}.
(a) Quelle est la durée de vie moyenne d’une telle télévision ? Et l’écart-type de cette durée
de vie?
(b) Calculer la probabilité que votre télévision ait une durée de vie supérieure à 8 ans.
Exercice 3.5 (Absence de mémoire)
Soit X une variable qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1. CalculerÈ(X > t) pour tout t ≥ 0.
2. En déduire que la loi exponentielle a la propriété d’absence de mémoire, c’est-à-dire que :
∀(x,t) ∈Ê+ ×Ê+ È(X > x+t|X > x) =È(X > t).
3. Application : la durée de vie T en années d’une télévision suit une loi exponentielle de
moyenne 8 ans. Vous possédez une telle télévision depuis 2 ans, quelle est la probabilité que
sa durée de vie soit encore d’au moins 8 ans à partir de maintenant?
Exercice 3.6 (Durée de vie)
Un appareil comporte six composants de même modèle, tous nécessaires à son fonctionnement. La
densité de la durée de vie T d’un composant est donnée par f(t) = t
étant l’année.
1. Vérifier que f est bien une densité de probabilité.
2. Calculer E[T] et Var(T).
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e− t
4 {t≥0}, l’unité de temps
3. Quelle est la probabilité qu’un composant fonctionne durant au moins six ans à partir de sa
mise en marche? En déduire la probabilité que l’appareil fonctionne durant au moins six ans
à partir de sa mise en marche.
Exercice 3.7 (Loi de Pareto)
La variable aléatoire T, représentant la durée de vie en heures d’un composant électronique, a pour
densité f(t) = 10
t2 {t>10}.
1. CalculerÈ(T > 20).
2. Quelle est la fonction de répartition de T ? La représenter.
3. Quelle est la probabilité que parmi 6 composants indépendants, au moins 3 d’entre eux
fonctionnent durant au moins 15 heures.
Exercice 3.8 (Tirages uniformes sur un segment)
Soit X un point au hasard sur le segment [0,1], c’est-à-dire que X ∼ U [0,1].
1. Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3/4?
2. Quelle est la probabilité que X soit supérieur à 3/4, sachant qu’il est supérieur à 1/3?
3. Le point X définit les deux segments [0,X] et [X,1]. Quelle est la probabilité pour que le
rapport entre le plus grand et le plus petit des deux segments soit supérieur à 4?
4. On tire deux points X et Y au hasard sur le segment [0,1], indépendamment l’un de l’autre.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités