Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.5. Exercices 133
Et on cherche :
−120 S −600
p =È(480 < S < 720) =È
√ < √ <
500 500 120
√
500
= 2Φ(5.36)−1,
ce qui donne p ≈ 1−8.10 −8 . Le calcul sur machine de la probabilité p via son expression exacte
donne en fait :
719
È(480 < S < 720) = = n) =
n=481È(S
719
n=481
3600
n
n 3600−n 1 5
≈ 1−11.10
6 6
−8 .
Ceci montre que l’approximation gaussienne donnée par le théorème central limite est excellente.
La minoration par l’inégalité de Tchebychev était par contre très pessimiste : il n’y a concrètement
à peu près aucune chance que le nombre de 1 ne soit pas compris entre 480 et 720.
Remarque. Nous avons ainsi obtenu une approximation de la loi binomiale B(n,p) par une loi
normale N(np,np(1−p)) lorsque n est grand. Celle-ci ne fonctionne cependant que si p n’est pas
trop petit, plus précisément il ne faut pas que p soit de l’ordre de 1/n. Dans cette situation, comme
expliqué en Section 2.5.5, c’est l’approximation par une loi de Poisson P(np) qui est pertinente
(cf. exercice 3.26).
3.5 Exercices
Exercice 3.1 (Espérance et variance d’une loi uniforme)
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur le segment [0,1].
1. Calculer sa moyenne E[X] et sa variance Var(X).
2. De façon générale, calculer E[Xn ], moment d’ordre n de X.
3. Soit a et b deux réels tels que
∈Ê
a < b. Comment définiriez-vous la densité d’une variable
aléatoire X uniforme sur le segment [a,b]? Donner alors E[X] et Var(X).
Exercice 3.2 (Loi de Cauchy)
On dit que X suit une loi de Cauchy de paramètre 1 si X admet pour densité f avec :
∀x f(x) = c
1+x 2.
1. Déterminer c pour que f soit bien une densité.
2. Calculer et représenter la fonction de répartition F de X.
3. Montrer que X n’a pas d’espérance.
4. Soit Y une variable aléatoire uniforme sur −π
π
2 , 2 . Déterminer la loi de X = tanY (on
pourra passer par sa fonction de répartition).
Exercice 3.3 (Densités parabolique et circulaire)
Soit X une variable aléatoire de densité f(x) = c(1−x 2 ) {−1