Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

132 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
−4 −3 −2 −1
1 2 3
0.40
68%
95%
99,7%
Figure 3.8 – Concentration autour de la moyenne d’une loi N(0,1).
notant Sn = X1 +···+Xn leurs sommes partielles, on a la convergence en loi suivante :
Sn −nE[X1]
n Var(X1)
L
−−−−→
n→+∞ N(0,1),
c’est-à-dire que pour tout intervalle (a,b) deÊ, on a :
È
a ≤ Sn
−nE[X1]
≤ b −−−−→
n Var(X1) n→+∞
b
a
1
√ 2π e −x2
2 dx.
Autrement dit, la somme d’un grand nombre de variables aléatoires i.i.d. se comporte comme une
loi normale. Dit grossièrement et quitte à choquer les puristes, on peut considérer que si n est “assez
grand”, Sn suit quasiment une loi normale de moyenne nE[X1] et d’écart-type n Var(X1) :
Sn ≈ N(nE[X1],n Var(X1)).
Universalité. L’aspect remarquable de ce résultat tient bien sûr au fait que la loi commune des
Xn peut être n’importe quoi! Celle-ci peut aussi bien être discrète qu’absolument continue, mixte
ou singulière. La seule chose requise est l’existence de la variance. Avec la Loi des Grands Nombres,
ce résultat peut être considéré comme le plus important en probabilités et statistiques.
Exemple. Revenons à l’exercice 2.21. Rappel des épisodes précédents : après 3600 jets d’un dé
équilibré, la question était d’évaluer la probabilité p que le nombre S de 1 apparus soit compris
entre 480 et 720. L’expression exacte était donnée par la somme de termes binomiaux et une
minoration avait été fournie par l’inégalité de Tchebychev : p ≥ 0,965. Or nous sommes dans le
cadre typique d’application du théorème central limite, avec n = 3600 et les Xi ayant pour loi
commune la distribution de Bernoulli B(1/6). Ainsi :
Sn −nE[X1] S −600
= √ ≈ N(0,1).
n Var(X1) 500
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités
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