Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.4. Lois usuelles 131
si l’on convient de noter Φ la fonction de répartition de la loi normale N(0,1), c’est-à-dire que si
X ∼ N(0,1) :
Φ(x) =È(X ≤ x) =
x
−∞
1
√ 2π e −t2
2 dt.
Puisqu’elle n’admet pas d’expression analytique élémentaire, la fonction Φ est tabulée : dans le
tableau en Annexe A.2 sont rassemblées les valeurs de Φ(x) pour 0 ≤ x ≤ 3,29. Notons que par
symétrie de la densité de la loi normale centrée réduite par rapport à 0, les valeurs de Φ(−x) s’en
déduisent :
Φ(−x) =È(X ≤ −x) =È(X ≥ x) = 1−È(X < x) = 1−Φ(x),
autrement dit la courbe de Φ admet le point (0,1/2) comme centre de symétrie. Ceci est illustré
figure 3.7.
1
Φ(x)
0.5
−3 −2 −1
0.0
0 1 2 3
−x
Φ(−x)
Figure 3.7 – Fonction de répartition Φ d’une loi normale N(0,1) et relation : Φ(−x) = 1−Φ(x).
Concentration. Supposons qu’on tire des nombres selon une loi normale N(m,σ 2 ), par exemple
avec un ordinateur. Alors plus l’écart-type σ est faible et plus on a des chances d’obtenir des résultats
autour de la moyenne m : 68% de tomber à distance inférieure ou égale à σ, 95% de tomber à
distance inférieure ou égale 1 à 2σ, 99,7% de tomber à distance inférieure ou égale à 3σ. Ceci est
illustré figure 3.8.
Exemple : le test du Q.I. La distribution des résultats au test de la WAIS (Weschler Adult
Intelligence Scale), ou test du Q.I. pour adultes, est gaussienne et celui-ci a été calibré pour que
sa moyenne soit égale à 100 et son écart-type égal à 15. Il y a donc 68% de la population adulte
dont le quotient intellectuel est compris entre 85 et 115.
Terminologie et Théorème Central Limite. La loi normale tire son nom de ce qu’elle apparaît
de façon “naturelle” ou “normale” dans de très nombreux phénomènes. Ceci est dû au Théorème
Central Limite. En voici la version la plus simple : si (Xn)n≥1 est une suite de variables aléatoires
indépendantes et identiquement distribuées (en abrégé i.i.d.) admettant une variance, alors en
1. Un encadrement plus précis pour l’intervalle de confiance à 95% est [m−1.96σ;m+1.96σ].
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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