Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.4. Lois usuelles 129
0.40
−3 −2 −1 0−4 1 2 3 4 −7 −5 −3 −1 1 3 5 7 9
Figure 3.6 – Densités des lois normales N(0,1) (à gauche) et N(2,9) (à droite).
2. On peut étendre la définition ci-dessus au cas où σ = 0 en considérant qu’alors la variable
aléatoire X n’est plus aléatoire, mais déterministe, et ne prend que la valeur m.
Les lois normales sont stables par transformation affine, comme nous allons maintenant le montrer.
Propriétés 3.4 (Loi normale & transformation affine)
1. Soit X ∼ N(m,σ 2 ) une variable gaussienne, a et b deux réels, a étant non nul, alors la
variable Y = aX+b suit elle aussi une loi normale. Plus précisément Y ∼ N(am+b,a 2 σ 2 ).
2. En particulier, si X ∼ N(m,σ 2 ), la variable Y = X−m
σ suit une loi normale centrée réduite.
3. Réciproquement, si X ∼ N(0,1), alors Y = σX +m ∼ N(m,σ 2 ).
Preuve. Il suffit d’appliquer la formule de changement de variable vue en Proposition 3.2 à la
fonction ϕ(x) = ax+b. Sa dérivée est constante égale à a et son inverse est ϕ −1 (y) = (y −b)/a,
donc la formule
fY(y) = fX(ϕ −1 (y))
|ϕ ′ (ϕ −1 (y))|
donne dans notre cas de figure :
1
fY(y) =
|a| √ ⎧
⎪⎨
exp
2πσ2 ⎪⎩ −
y−b
a −m
2σ2 qui s’écrit encore :
fY(y) =
0.14
0.12
1
2π(aσ) 2 e−(y−(am+b))2
2(aσ) 2 ,
où l’on reconnaît la densité d’une loi normaleN(am+b,a 2 σ 2 ). Les deux derniers points en découlent
directement.
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
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⎪⎭ ,