Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

128 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
Ainsi une variable exponentielle a plus de chances de tomber en dessous de sa moyenne qu’audessus.
La médiane m est quant à elle la solution de :
F(m) = 1
2 ⇔ 1−e−λm = 1
2
⇔ m = ln2
λ
On parle parfois de demi-vie plutôt que de médiane (cf. exercice III, sujet de décembre 2010).
Proposition 3.8 (Minimum de lois exponentielles)
Soit n variables indépendantes X1,...,Xn suivant des lois exponentielles de paramètres respectifs
λ1,...,λn. Alors la variable aléatoire X = min(X1,...,Xn) suit elle-même une loi exponentielle,
plus précisément
X = min(X1,...,Xn) ∼ E(λ1 +...λn).
Preuve. Voir le corrigé de l’exercice 3.10.
Proposition 3.9 (Absence de mémoire)
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Alors pour tout couple
(x,t) de réels positifs, nous avonsÈ(X > x + t|X > x) =È(X > t). Autrement dit, la loi
exponentielle n’a pas de mémoire.
Preuve. Voir le corrigé de l’exercice 3.5.
Ces deux dernières propriétés on un goût de déjà-vu : ce sont en effet les mêmes que pour la loi
géométrique. Le lien entre lois géométrique et exponentielle est formalisé en exercice 3.16 : on
montre que si X ∼ E(λ) alors en notant Y = ⌈X⌉ la variable égale à sa partie entière supérieure,
on a Y ∼ G(1−e −λ ).
3.4.3 Loi normale
La loi normale est sans conteste la loi la plus importante des probabilités et des statistiques. Ce
rôle prépondérant est dû au Théorème Central Limite, dont nous dirons un mot en fin de section,
mais dont l’exposé détaillé dépasse le cadre de ce cours.
Définition 3.9 (Loi normale)
Soit m et σ deux réels, avec σ > 0. On dit que X suit une loi normale, ou gaussienne, de paramètres
m et σ 2 , noté X ∼ N(m,σ 2 ), si X admet pour densité :
f(x) =
1
√ 2πσ 2 e−(x−m)2
2σ 2 .
En particulier, si m = 0 et σ = 1, on dit que X suit une loi normale centrée réduite.
Des exemples de densités de lois normales, appelées aussi courbes en cloches, sont donnés figure 3.6.
Remarques :
1. Il n’existe pas d’expression analytique simple pour une primitive de la fonction e−x2. Nous
admettrons le résultat suivant :
+∞
−∞
e −x2
2 dx = √ 2π, (3.1)
ce qui assure au moins que la densité de la loi normale centrée réduite est bien une densité!
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités