Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.4. Lois usuelles 127
Définition 3.8 (Loi exponentielle)
Soit λ un réel strictement positif. On dit que X suit une loi exponentielle de paramètre λ, noté
X ∼ E(λ), si X admet pour densité :
f(x) = λe −λx {x≥0}.
Une variable exponentielle est donc à valeurs dans [0,+∞[. Plus λ est grand et plus la variable
a des chances de prendre des valeurs proches de 0. Ceci se reflète dans l’expression de son espérance.
Proposition 3.6 (Moments d’une loi exponentielle)
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors :
E[X] = 1
λ
Preuve. Voir le corrigé de l’exercice 3.4.
& Var(X) = 1
λ 2.
Généralisation. Grâce à une récurrence elle aussi basée sur une intégration par parties, il est
facile d’exprimer le moment d’ordre n d’une loi exponentielle :
∀n ∈Æ∗
E[X n ] =
+∞
0
x n λe −λx dx = n!
λ n.
Proposition 3.7 (Fonction de répartition d’une loi exponentielle)
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors sa fonction de répartition F est :
F(x) =
0 si x ≤ 0
1−e −λx si x ≥ 0
Densité et fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ = 4 sont représentées
figure 3.5.
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0 0.5 1 1.5 2
0
0 0.5 1 1.5 2
Figure 3.5 – Densité et fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre λ = 4.
Remarque. Cette expression permet de voir que la médiane d’une loi exponentielle n’est pas égale
à sa moyenne, puisque :
È(X > E[X]) =È(X > 1/λ) = 1−È(X ≤ 1/λ) = 1−F(1/λ) = 1
≈ 0,37 < 0,5.
e
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1