Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

1.2. Conditionnement 9
Bref il suffit de penser aux Ai comme aux pièces d’un puzzle Ω (voir figure 1.4). On va supposer
dans la suite tous lesÈ(Ai) strictement positifs, ce qui légitimera les conditionnements par les Ai.
Disposant d’une partition de Ω, l’idée de la formule des probabilités totales est la suivante : si pour
tout i on connaîtÈ(B|Ai) etÈ(Ai), alors on peut en déduireÈ(B).
Proposition 1.2 (Formule des probabilités totales)
Soit (Ω,F,È) muni d’un système complet d’événements (A1,...,An), alors pour tout événement
B on a la décomposition :
n
È(B) =
i=1È(B|Ai)È(Ai).
Preuve. On a tout d’abord d’un point de vue ensembliste (cf. figure 1.5) :
B = B ∩Ω = B ∩(A1 ∪···∪An) = (B ∩A1)∪···∪(B ∩An),
la dernière égalité venant de la distributivité de l’intersection par rapport à l’union (tout comme
la multiplication par rapport à l’addition pour les nombres). Il suffit alors de remarquer que la
dernière décomposition est une union d’événements deux à deux disjoints (car les Ai le sont), donc
on peut appliquer la σ-additivité deÈ:
n n
È(B) = ∩Ai) =
i=1È(B
i=1È(B|Ai)È(Ai),
le dernier point venant de l’écriture :È(B ∩Ai) =È(B|Ai)È(Ai).
A1
Figure 1.5 – Illustration de B = n i=1 (B ∩Ai).
En pratique, on utilise très souvent cette formule des probabilités totales en conditionnant successivement
par un événement et son contraire, c’est-à-dire en prenant tout simplement une partition
de type (A,A), ce qui donne :È(B) =È(B|A)È(A) +È(B|A)È(A).
A2
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2
B
Ω