Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.4. Lois usuelles 125
Interprétation. C’est la même que dans le cas discret. Si on pose t = sσ(X), l’inégalité de
Tchebychev se réécrit pour tout s > 0 :
È(|X −E[X]| ≥ sσ(X)) ≤ 1
s 2.
Si on voit l’écart-type σ(X) comme une unité d’écart, ceci dit que la probabilité qu’une variable
s’éloigne de plus de s unités d’écart de sa moyenne est inférieure à 1
s 2.
Remarque. Dans le cas discret, tout a été démontré facilement grâce à la seule théorie des séries
numériques. Dès qu’on passe au cas absolument continu, ça se corse. En particulier, la plupart
des résultats énoncés dans ce chapitre ont été prouvés sous des hypothèses inutilement restrictives
sur la densité f. Ceci vient du fait que le bon cadre théorique pour traiter des probabilités en
toute généralité est celui de l’intégrale de Lebesgue, laquelle permet d’unifier et d’englober les
deux situations, mais dépasse largement le cadre de ce cours introductif.
3.4 Lois usuelles
Comme dans le cas discret, il existe un certain nombre de lois classiques pour les variables à densité.
Nous en détaillons ici quelques-unes.
3.4.1 Loi uniforme
La loi uniforme sert à préciser ce qu’on entend par un énoncé du type : “On tire un point au hasard
entre 0 et 1”. C’est l’équivalent continu de la loi uniforme vue dans le cas discret.
Définition 3.7 (Loi uniforme)
Soit a et b deux réels, avec a < b. On dit que X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a,b], noté
X ∼ U [a,b], si X admet pour densité f(x) = 1
b−a [a,b](x).
Remarque. On peut tout aussi bien ouvrir ou fermer les crochets au bord de l’intervalle.
Espérance et variance se calculent alors sans problème, ceci a d’ailleurs déjà été fait en Section 3.3
dans le cas d’une loi uniforme sur [0,1].
Proposition 3.4 (Moments d’une loi uniforme)
Si X suit une loi uniforme sur [a,b], alors :
E[X] = a+b
2
& Var(X) = (b−a)2
.
12
L’espérance de X correspond donc au milieu du segment [a,b], ce qui n’a rien d’étonnant si l’on
pense à l’espérance comme à une valeur moyenne. La fonction de répartition ne pose pas non plus
de difficultés.
Proposition 3.5 (Fonction de répartition d’une loi uniforme)
Si X suit une loi uniforme sur [a,b], alors sa fonction de répartition F est :
⎧
⎨ 0 si x ≤ a
x−a
F(x) =
⎩ b−a si a ≤ x ≤ b
1 si x ≥ b
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2