Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

122 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
Figure 3.3 – Densité d’une variable aléatoire suivant une loi de Cauchy.
Théorème 3.1 (Théorème de Transfert)
Soit X une variable aléatoire à densité et ϕ :Ê→Êune fonction, alors l’espérance de ϕ(X)
vaut :
Êϕ(x)f(x)dx,
E[ϕ(X)] =
sous réserve d’absolue convergence de cette intégrale.
Remarques :
1. Etant donné que ϕ(x) peut osciller entre des valeurs positives et négatives aux bords de
l’intervalle d’intégration, on est cette fois obligé d’imposer l’absolue convergence.
2. Si ϕ est dérivable et bijective, on peut appliquer le résultat de changement de variable vu
plus haut : Y = ϕ(X) admet une densité fY , donc son espérance vaut :
E[Y] = yfY(y)dy,
et le changement de variable y = ϕ(x) dans l’intégrale donne :
E[Y] = ϕ(x)fY(ϕ(x))|ϕ ′ (x)|dx.
I
J
La valeur absolue vient de ce qu’on a mis l’intervalle I dans le “bon sens”, ce qui n’est
automatique que lorsque ϕ est croissante. Il reste alors à faire le lien avec la Proposition 3.2
pour retrouver :
E[Y] = ϕ(x)f(x)dx.
Moyen mnémotechnique. Pour calculer E[ϕ(X)] et non E[X], on a juste à remplacer x par ϕ(x)
dans la formule de E[X].
L’intérêt pratique de ce résultat est le même que dans le cas discret : si on appelle Y = ϕ(X) la
variable aléatoire qui nous intéresse, on n’a pas besoin de commencer par déterminer sa densité
pour calculer son espérance, il suffit tout simplement de se servir de celle de X.
Exemple. On reprend l’exemple où X ∼ U [0,1] et Y = X 2 . Puisqu’on a vu que Y admet pour
densité fY(y) = 1
2 √ y {0