Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

120 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
Figure 3.2 – Densité et fonction de répartition de Y = X 2 , où X ∼ U [0,1].
Proposition 3.2 (Changement de variable)
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans l’intervalle I et admettant une densité fX. Soit alors
Y = ϕ(X), avec ϕ dérivable et bijective, variable aléatoire à valeurs dans l’intervalle J. Alors Y
admet pour densité fY définie par :
en tout point y de J tel que ϕ ′ (ϕ −1 (y)) = 0.
fY(y) = fX(ϕ −1 (y))
|ϕ ′ (ϕ −1 (y))| ,
Preuve. Il suffit de généraliser le raisonnement de l’exemple précédent. Notons FY la fonction de
répartition de Y , définie pour tout réel y par FY(y) =È(Y ≤ y), alors la relation entre X et Y
permet d’écrire, en supposant par exemple ϕ croissante :
FY(y) =È(ϕ(X) ≤ y) =È(X ≤ ϕ −1 (y)) = FX(ϕ −1 (y)),
en notant FX la fonction de répartition de X. Ainsi, en tout point y où la fonction y ↦→ FX(ϕ −1 (y))
est dérivable, FY l’est aussi et :
F ′ Y(y) = F ′ X(ϕ −1 (y))(ϕ −1 (y)) ′ = fX(ϕ −1 (y))
ϕ ′ (ϕ −1 (y)) ,
avec ϕ ′ (ϕ −1 (y)) > 0 puisque ϕ est croissante. Si ϕ est décroissante, les calculs précédents deviennent
:
d’où :
FY(y) =È(ϕ(X) ≤ y) =È(X ≥ ϕ −1 (y)) = 1−FX(ϕ −1 (y)),
F ′ Y(y) = −F ′ X(ϕ −1 (y))(ϕ −1 (y)) ′ = − fX(ϕ −1 (y))
ϕ ′ (ϕ −1 (y)) = fX(ϕ −1 (y))
|ϕ ′ (ϕ −1 (y))| ,
puisque cette fois ϕ ′ (ϕ −1 (y)) < 0.
Remarque. Cette formule est bien sûr liée à la formule de changement de variable connue pour
les intégrales. Il n’est pas utile de la retenir, à condition de savoir la retrouver via le passage par
la fonction de répartition vu sur l’exemple ci-dessus.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités