Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

118 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
1. Loi uniforme : dans le cas où f = [0,1], un petit calcul donne
⎧
⎨ 0 si x ≤ 0
F(x) = x si 0 ≤ x ≤ 1
⎩
1 si x ≥ 1
2. Loi exponentielle : si f(x) = e −x {x≥0}, on a (voir aussi figure 3.1 à droite)
F(x) =
0 si x ≤ 0
1−e −x si x ≥ 0
On retrouve sur ces exemples les propriétés vues dans le cas discret, et même mieux : monotonie,
limites en ±∞, continuité (et non plus simplement continuité à droite). Elles sont en fait toujours
vraies.
Propriétés 3.1 (Propriétés d’une fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire absolument continue, de densité f. Sa fonction de répartition F a
les propriétés suivantes :
1. F est croissante;
2. limx→−∞F(x) = 0, limx→+∞F(x) = 1;
3. F est continue surÊ.
Preuve. Les deux premiers points se prouvent comme dans le cas discret. La continuité à droite
se montre aussi comme dans le cas discret, il reste donc simplement à montrer la continuité à
gauche en tout point. Soit donc x0 réel fixé. Puisque F est croissante surÊ, elle admet une limite
à gauche en x0, notée F(x − 0 ) et qui vérifie donc F(x− 0 ) = limn→+∞F(x0 − 1/n). Nous voulons
maintenant prouver que F(x − 0 ) = F(x0), ou de façon équivalente que limn→+∞F(x0 − 1/n) =
F(x0). Supposons pour simplifier que f est continue par morceaux, alors f est bornée au voisinage
de x0, disons par M, d’où :
|F(x0)−F(x0 −1/n)| =
x0
x0−1/n
f(x)dx
≤
x0
x0−1/n
|f(x)|dx,
ce qui donne :
x0
|F(x0)−F(x0 −1/n)| ≤ Mdx =
x0−1/n
M
n −−−−→
n→+∞ 0,
∈Ê
et la continuité à gauche est prouvée. Ainsi F est bien continue surÊ.
Quid des sauts de F ? Nous avions vu dans le cas discret que :
∀x È(X = x) = F(x)−F(x − ).
Cette relation est encore vraie, mais devient une tautologie, puisqu’elle ne dit rien de plus que 0=0.
L’intérêt était pourtant de voir le lien entre la loi de X et sa fonction de répartition. Le résultat
suivant rétablit ce lien.
Proposition 3.1 (Lien entre fonction de répartition et densité)
Soit X une variable aléatoire absolument continue, de densité f et de fonction de répartition F.
Alors en tout point où f est continue, F est dérivable et on a F ′ (x) = f(x).
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités