Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

3.2. Fonction de répartition 117
Par ailleurs, pour tous points a ≤ b de [0,1], la probabilité de tomber entre a et b est :
È(a ≤ X ≤ b) =
b
a
f(x)dx = (b−a),
donc ne dépend que de la longueur de l’intervalle, ce qui est bien conforme à l’intuition d’une
variable uniforme : X a autant de chances de tomber dans [0,1/3] que dans [2/3,1]. On dit
que X suit une loi uniforme sur le segment [0,1] et on note X ∼ U [0,1].
2. Loi exponentielle : prenons maintenant f(x) = e−x si x ≥ 0 et f(x) = 0 si x < 0. Alors à
nouveau f ≥ 0 et :
+∞
−∞
f(x)dx =
+∞
0
e −x dx = −e −x +∞
0
donc f définit bien une densité. Puisque f décroît à vitesse exponentielle vers 0 lorsque x tend
vers l’infini (cf. figure 3.1 à gauche), on voit cette fois que X a plutôt tendance à prendre des
valeurs petites. On dit qu’elle suit une loi exponentielle de paramètre 1 et on note X ∼ E(1).
Figure 3.1 – Densité et fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre 1.
3.2 Fonction de répartition
Comme dans le chapitre précédent, on peut définir très facilement la fonction de répartition d’une
variable aléatoire absolument continue. Le lien entre intégrale et primitive en fait d’ailleurs un
outil bien plus puissant que dans le cas discret.
Définition 3.3 (Fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire absolument continue, de densité f. La fonction de répartition de X
est la fonction F définie par :
F :
Ê→Ê x ↦→ F(x) =È(X ≤ x) = x
−∞f(t)dt. La fonction de répartition permet de calculer la probabilité de tomber dans n’importe quel intervalle,
par exemple :
È(0 < X ≤ 1) =È(0 < X < 1) =È(0 ≤ X ≤ 1) =È(0 ≤ X < 1) =
Exemples :
= 1,
1
0
f(t)dt = F(1)−F(0).
Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2