Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

116 Chapitre 3. Variables aléatoires à densité
cas où X prend ses valeurs dansÊtout entier (ou dans un intervalle deÊ), on ne veut plus se
restreindre à des événements de la forme “X prend la valeur x” comme dans le cas discret, car
ceux-ci seront généralement de probabilité nulle, donc sans grand intérêt. Le fait de supposer qu’on
va pouvoir calculer la probabilité de n’importe quel intervalle est bien plus pertinent, car à eux
seuls les intervalles engendrent une famille très riche de sous-ensembles deÊ, connue sous le nom
de tribu borélienne.
Comme dans le cas discret, la notion de variable aléatoire est stable par toutes les opérations
classiques sur les fonctions : la combinaison linéaire, le produit, le minimum, le maximum de deux
variables aléatoires X et Y sont encore des variables aléatoires.
Outre le cas discret, un cas confortable de variable aléatoire à valeurs dansÊest celui de variable
admettant une densité. Dans toute la suite, on restera volontairement évasif quant aux hypothèses
précises sur cette densité, le bon cadre pour toutes ces notions étant celui de l’intégrale de Lebesgue,
qui ne sera vu qu’en troisième année. Pour fixer les idées, on pourra par exemple se dire
que f est continue par morceaux surÊ, ce qui sera le cas dans la plupart des exemples.
Définition 3.2 (Variable à densité)
Soit X une variable aléatoire à valeurs dansÊ. On dit que X est à densité, ou absolument continue,
s’il existe une fonction f :Ê→Êvérifiant :
1. f ≥ 0,
2. +∞
−∞ f(x)dx = 1,
et telle que pour tout intervalle I deÊ:
È(X ∈ I) =
Dans ce cas, f est appelée densité de X.
I
f(x)dx.
Remarque. Notons d’emblée que si X admet une densité, alors la probabilité qu’elle prenne une
valeur donnée x0 est nulle puisque :
È(X = x0) =È(X ∈ [x0,x0]) =
x0
x0
f(x)dx = 0.
Interprétation. Bien que f(x0) soit positif pour tout x0, f(x0) n’est pas une probabilité : on
peut en particulier avoir f(x0) > 1! Il n’empêche que si [x0−δ/2,x0+δ/2] est un “petit” intervalle
centré en x0, la probabilité de tomber dans cet intervalle est :
È(X ∈ [x0 −δ/2,x0 +δ/2]) =
x0+δ/2
x0−δ/2
f(x)dx ≈ δf(x0).
Autrement dit, à largeur d’intervalle δ fixée, X a d’autant plus de chances de tomber dans un
intervalle centré en x0 que f(x0) est grand. Pratiquement, imaginons qu’on représente un très
grand nombre de réalisations X1 = x1,...,Xn = xn tirées indépendamment suivant la même loi
que X : la densité des Xi sera alors la plus élevée là où f prend ses plus grandes valeurs.
Exemples :
1. Loi uniforme : conformément à ce qui vient d’être dit, une variable X se répartissant de façon
uniforme dans le segment [0,1] est définie par la densité f = [0,1], c’est-à-dire f(x) = 1 si
x ∈ [0,1] et f(x) = 0 sinon. On a bien d’une part f ≥ 0 et d’autre part :
+∞
−∞
f(x)dx =
1
0
1dx = 1.
Arnaud Guyader - Rennes 2 Probabilités