Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

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8 Chapitre 1. Espaces probabilisés AinsiÈ(.|A) est une probabilité sur(Ω,F) et vérifie de fait toutes les propriétés vues précédemment (monotonie, additivité forte, sous-σ-additivité, continuités monotones croissante et décroissante). Nous allons maintenant énoncer un résultat aussi simple qu’utile, mettant en jeu des conditionnements emboîtés. Proposition 1.1 (Formule des probabilités composées) Soit n événements A1,...,An tels queÈ(A1 ∩···∩An−1) > 0, alors on a : È(A1 ∩···∩An) =È(A1)È(A2|A1)È(A3|A2 ∩A1)...È(An|A1 ∩···∩An−1). Preuve. On commence par noter que tous les conditionnements sont justifiés puisque par monotonie : 0
1.2. Conditionnement 9 Bref il suffit de penser aux Ai comme aux pièces d’un puzzle Ω (voir figure 1.4). On va supposer dans la suite tous lesÈ(Ai) strictement positifs, ce qui légitimera les conditionnements par les Ai. Disposant d’une partition de Ω, l’idée de la formule des probabilités totales est la suivante : si pour tout i on connaîtÈ(B|Ai) etÈ(Ai), alors on peut en déduireÈ(B). Proposition 1.2 (Formule des probabilités totales) Soit (Ω,F,È) muni d’un système complet d’événements (A1,...,An), alors pour tout événement B on a la décomposition : n È(B) = i=1È(B|Ai)È(Ai). Preuve. On a tout d’abord d’un point de vue ensembliste (cf. figure 1.5) : B = B ∩Ω = B ∩(A1 ∪···∪An) = (B ∩A1)∪···∪(B ∩An), la dernière égalité venant de la distributivité de l’intersection par rapport à l’union (tout comme la multiplication par rapport à l’addition pour les nombres). Il suffit alors de remarquer que la dernière décomposition est une union d’événements deux à deux disjoints (car les Ai le sont), donc on peut appliquer la σ-additivité deÈ: n n È(B) = ∩Ai) = i=1È(B i=1È(B|Ai)È(Ai), le dernier point venant de l’écriture :È(B ∩Ai) =È(B|Ai)È(Ai). A1 Figure 1.5 – Illustration de B = n i=1 (B ∩Ai). En pratique, on utilise très souvent cette formule des probabilités totales en conditionnant successivement par un événement et son contraire, c’est-à-dire en prenant tout simplement une partition de type (A,A), ce qui donne :È(B) =È(B|A)È(A) +È(B|A)È(A). A2 Probabilités Arnaud Guyader - Rennes 2 B Ω
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Bibliographie [1] Nicolas Bouleau.
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