Introduction aux Probabilités - Université Rennes 2

Chapitre 3
Variables aléatoires à densité
Introduction
Contrairement au chapitre précédent, on considère ici des variables aléatoires à valeurs dansÊ
ou un intervalle deÊ. Parmi celles-ci, seules celles dont la loi admet une représentation intégrale
nous intéresseront : on parle alors de variables à densité, ou absolument continues. On pourra ainsi
retrouver l’ensemble des notions vues pour les variables discrètes.
3.1 Densité d’une variable aléatoire
Dans toute la suite, (Ω,F,È) désigne un espace probabilisé. On commence par définir la notion de
variable aléatoire de façon très générale, valable en particulier pour les variables discrètes. Rappelons
qu’un intervalle I deÊest un ensemble d’un seul tenant, c’est-à-dire de la forme I = [a,b] ou
I =]a,b] ou I = [a,b[ ou I =]a,b[, avec a et b deux réels, voire −∞ et/ou +∞ à condition d’ouvrir
les crochets.
Définition 3.1 (Variable aléatoire)
Une application
X :
→Ê
(Ω,F,È)
ω ↦→ X(ω)
est une variable aléatoire si pour tout intervalle I deÊ:
{X ∈ I} := X −1 (I) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ I} ∈ F.
Commençons par remarquer que siX prend ses valeurs dans un sous-ensemble au plus dénombrable
X deÊ, on retrouve la définition 2.1 d’une variable discrète puisqu’alors :
{X ∈ I} =
{X = xi} ∈ F,
i : xi∈I
car la tribu F est stable par union au plus dénombrable. Réciproquement, si I = {xi} = [xi,xi],
alors suivant la définition ci-dessus :
et la boucle est bouclée.
{X ∈ I} = {X = xi} ∈ F,
Expliquons en deux mots la définition générale ci-dessus. L’intérêt de supposer qu’un événement
appartient à F est bien sûr d’être assuré qu’on pourra en calculer la probabilité. Mais dans le